Esercizio 5. 
Verifica che il triangolo di vertici 
è rettangolo e, detto 
il punto medio di 
, verifica che il triangolo 
è isoscele.
Svolgimento. Rappresentiamo i punti 
, 
e 
su un piano cartesiano e uniamoli per formare il triangolo 
Per dimostrare che è un triangolo rettangolo, dobbiamo dimostrare che vale il teorema di Pitagora ovvero la seguente relazione
(1) 
Ricordiamo che dati due punti generici 
e 
del piano 
, si calcola come segue
(2) 
ed inoltre il punto medio del segmento che li congiunge è
(3) 
Dunque con (ref{1}) calcoliamo
![\[\begin{aligned} & BC^2 = \left(x_C - x_B\right)^2 + \left(y_C-y_B\right)^2 = \dfrac{505}{4}\\ & AC^2 = \left(x_C - x_A\right)^2 + \left(y_C-y_A\right)^2 = 101\\ & AB^2 = \left(x_B - x_A \right)^2 + \left(y_B - y_A \right)^2 = \dfrac{101}{4} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aaef375a720b6e95ee3f7fae08004ebb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ed osserviamo che i valori ottenuti soddisfano (1), pertanto è un triangolo rettangolo in .
Calcoliamo il punto medio del segmento con (ref{med}):
![\[M = \left(\dfrac{x_A+x_C}{2}, \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) = \left(-\dfrac{5}{2}, 4\right)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303607d9ff347e0867d763925a9f62fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e graficamente abbiamo
Verifichiamo che è isoscele. Calcoliamo
![\[AM = \dfrac{AC}{2}= \dfrac{\sqrt{101}}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17d22d79560a5f6f9cd85205a899a789_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e da prima sapevamo che 
; quindi essendo 
possiamo affermare che è un triangolo isoscele.
Fonte: Corso base blu di matematica – M.Bergamini, A.Trifone e G.Barozzi