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Esercizio 5 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 5.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Verifica che il triangolo di vertici A(-3,-1), B\left(2,-\frac{3}{2}\right), C\left(-2,9\right) è rettangolo e, detto M il punto medio di AC, verifica che il triangolo ABM è isoscele.

 

Svolgimento. Rappresentiamo i punti A, B e C su un piano cartesiano e uniamoli per formare il triangolo ABC

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Per dimostrare che ABC è un triangolo rettangolo, dobbiamo dimostrare che vale il teorema di Pitagora ovvero la seguente relazione

(1)   \begin{equation*} BC^2 = AC^2+AB^2 \end{equation*}

Ricordiamo che dati due punti generici A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) del piano xy, si calcola come segue

(2)   \begin{equation*} AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \end{equation*}

ed inoltre il punto medio M del segmento che li congiunge è

(3)   \begin{equation*} M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \end{equation*}

Dunque con (ref{1}) calcoliamo

    \[\begin{aligned} & BC^2 = \left(x_C - x_B\right)^2 + \left(y_C-y_B\right)^2 = \dfrac{505}{4}\\ & AC^2 = \left(x_C - x_A\right)^2 + \left(y_C-y_A\right)^2 = 101\\ & AB^2 = \left(x_B - x_A \right)^2 + \left(y_B - y_A \right)^2 = \dfrac{101}{4} \end{aligned}\]

ed osserviamo che i valori ottenuti soddisfano (1), pertanto ABC è un triangolo rettangolo in A.

Calcoliamo il punto medio M del segmento AC con (ref{med}):

    \[M = \left(\dfrac{x_A+x_C}{2}, \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) = \left(-\dfrac{5}{2}, 4\right)\]

e graficamente abbiamo

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Verifichiamo che ABM è isoscele. Calcoliamo

    \[AM = \dfrac{AC}{2}= \dfrac{\sqrt{101}}{2}\]

e da prima sapevamo che AB =\frac{\sqrt{101}}{2}; quindi essendo AM=AB possiamo affermare che ABM è un triangolo isoscele.

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Fonte: Corso base blu di matematica – M.Bergamini, A.Trifone e G.Barozzi