Esercizio 4 ripasso geometria analitica (retta)

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Esercizio 4. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dato il triangolo di vertici $A=(2,0), B=(6,8), C=(0,10)$ :

$(i)$ verificare che il segmento che unisce i punti medi di ciascuna coppia di lati è parallelo al terzo lato ed uguale alla sua metà;

$(ii)$ determinare l’area $S$ del triangolo $ABC$ ;

$(iii)$ detti $M$ ed $N$ i punti medi di due lati, determinare l’area del trapezio avente come basi il segmento $MN$ ed il terzo lato.

Svolgimento. $(i)$ La situazione è rappresenta in figura

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Calcoliamo i coefficienti angolari dei lati e le loro lunghezze: abbiamo

$\begin{aligned} &m_{AB}=\frac{0-8}{2-6}=2,\qquad m_{AC}=\frac{0-10}{2-0}=-5,\qquad m_{BC}=\frac{8-10}{6-0}=-\frac{1}{3},\\ &AB=\sqrt{(2-6)^2+(0-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5},\\ &AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-10)^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26},\\ &BC=\sqrt{(6-0)^2+(8-10)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}. \end{aligned}$

Indichiamo con $M,N,I$ i punti medi dei lati $AB, AC, BC$ rispettivamente. Allora

$M=(4,4),\qquad N=(1,5),\qquad I=(3,9).$

In figura rappresentiamo i punti medi

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Abbiamo allora per i coefficienti angolari

$\begin{aligned} &m_{MN}=\frac{4-5}{4-1}=-\frac{1}{3}=m_{BC},\\ &m_{MI}=\frac{4-9}{4-3}=-5=m_{AC},\\ &m_{NI}=\frac{5-9}{1-3}=2=m_{AB}, \end{aligned}$

mentre per i lati si ha

$\begin{aligned} &MN=\sqrt{(4-1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=BC/2,\\ &MI=\sqrt{(4-3)^2+(4-9)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}=AC/2,\\ &NI=\sqrt{(1-3)^2+(5-9)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=AB/2. \end{aligned}$

$(ii)$ L’equazione della retta passante per $AC$ è

$r:\ y=-5(x-2)\quad\Longrightarrow\quad 5x+y-10=0,$

per cui la distanza tra $B$ e $r$ (che rappresenta l’altezza relativa alla base $AC$ ) è

$h=\frac{|5\cdot 6+8-10|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{26}},$

e quindi si ha per l’area

$A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{28}{\sqrt{26}}\cdot 2\sqrt{26}=28.$

$(iii)$ In figura rappresentiamo il trapezio $MNCB$ .

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Dobbiamo calcolare l’area del trapezio $MNCB$ . L’altezza di tale trapezio coincide con la distanza del punto $M$ dalla retta passante per il lato $BC$ : essa ha equazione

$s:\ y-8=-\frac{1}{3}(x-6)\quad\Longrightarrow\quad x+3y-30=0,$

per cui (ricordare che $M=(4,4)$ )

$h=\frac{|4+3\cdot 4-30|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{14}{\sqrt{10}},$

e quindi

$A_{MNCB}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot(MN+BC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{14}{\sqrt{10}}\cdot 3\sqrt{10}=21.$

Fonte: ignota.