Esercizio 4. 
Dato il triangolo di vertici 
:
verificare che il segmento che unisce i punti medi di ciascuna coppia di lati è parallelo al terzo lato ed uguale alla sua metà;
determinare l’area 
del triangolo 
;
detti 
ed 
i punti medi di due lati, determinare l’area del trapezio avente come basi il segmento 
ed il terzo lato.
Svolgimento. La situazione è rappresenta in figura
Calcoliamo i coefficienti angolari dei lati e le loro lunghezze: abbiamo
![\[\begin{aligned} &m_{AB}=\frac{0-8}{2-6}=2,\qquad m_{AC}=\frac{0-10}{2-0}=-5,\qquad m_{BC}=\frac{8-10}{6-0}=-\frac{1}{3},\\ &AB=\sqrt{(2-6)^2+(0-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5},\\ &AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-10)^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26},\\ &BC=\sqrt{(6-0)^2+(8-10)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd9a89bb58de74ae3fc539f9bab7cb4b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Indichiamo con 
i punti medi dei lati 
rispettivamente. Allora
![\[M=(4,4),\qquad N=(1,5),\qquad I=(3,9).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21ad869b94093533337fb52618535ada_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In figura rappresentiamo i punti medi
Abbiamo allora per i coefficienti angolari
![\[\begin{aligned} &m_{MN}=\frac{4-5}{4-1}=-\frac{1}{3}=m_{BC},\\ &m_{MI}=\frac{4-9}{4-3}=-5=m_{AC},\\ &m_{NI}=\frac{5-9}{1-3}=2=m_{AB}, \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a22515202a22a4a214b118d71c68eaf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
mentre per i lati si ha
![\[\begin{aligned} &MN=\sqrt{(4-1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=BC/2,\\ &MI=\sqrt{(4-3)^2+(4-9)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}=AC/2,\\ &NI=\sqrt{(1-3)^2+(5-9)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=AB/2. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5665d405413bcf2a26d6d104f208eb67_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’equazione della retta passante per 
è
![\[r:\ y=-5(x-2)\quad\Longrightarrow\quad 5x+y-10=0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ea083460586012f47803c7dad3f9bb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui la distanza tra 
e 
(che rappresenta l’altezza relativa alla base ) è
![\[h=\frac{|5\cdot 6+8-10|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{26}},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4ed91da0f873f2ee0e5e68c04f401a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi si ha per l’area
![\[A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{28}{\sqrt{26}}\cdot 2\sqrt{26}=28.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b33bdd38bb36566f6ecf2cd61dfdf0d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In figura rappresentiamo il trapezio 
.
Dobbiamo calcolare l’area del trapezio . L’altezza di tale trapezio coincide con la distanza del punto dalla retta passante per il lato 
: essa ha equazione
![\[s:\ y-8=-\frac{1}{3}(x-6)\quad\Longrightarrow\quad x+3y-30=0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eed2ae6a537aa948d5979eb6231e9819_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui (ricordare che 
)
![\[h=\frac{|4+3\cdot 4-30|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{14}{\sqrt{10}},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6371a0cec1349591897a14ccd2ab8ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi
![\[A_{MNCB}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot(MN+BC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{14}{\sqrt{10}}\cdot 3\sqrt{10}=21.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d2246cfcb1674303d0b04e3e0b789ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: ignota.