Esercizio 4 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 4.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dato il triangolo di vertici A=(2,0), B=(6,8), C=(0,10):

(i) verificare che il segmento che unisce i punti medi di ciascuna coppia di lati è parallelo al terzo lato ed uguale alla sua metà;

(ii) determinare l’area S del triangolo ABC;

(iii) detti M ed N i punti medi di due lati, determinare l’area del trapezio avente come basi il segmento MN ed il terzo lato.

 

Svolgimento. (i)  La situazione è rappresenta in figura

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Calcoliamo i coefficienti angolari dei lati e le loro lunghezze: abbiamo

    \[\begin{aligned} &m_{AB}=\frac{0-8}{2-6}=2,\qquad m_{AC}=\frac{0-10}{2-0}=-5,\qquad m_{BC}=\frac{8-10}{6-0}=-\frac{1}{3},\\ &AB=\sqrt{(2-6)^2+(0-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5},\\ &AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-10)^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26},\\ &BC=\sqrt{(6-0)^2+(8-10)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}. \end{aligned}\]

Indichiamo con M,N,I i punti medi dei lati AB, AC, BC rispettivamente. Allora

    \[M=(4,4),\qquad N=(1,5),\qquad I=(3,9).\]

In figura rappresentiamo i punti medi

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Abbiamo allora per i coefficienti angolari

    \[\begin{aligned} &m_{MN}=\frac{4-5}{4-1}=-\frac{1}{3}=m_{BC},\\ &m_{MI}=\frac{4-9}{4-3}=-5=m_{AC},\\ &m_{NI}=\frac{5-9}{1-3}=2=m_{AB}, \end{aligned}\]

mentre per i lati si ha

    \[\begin{aligned} &MN=\sqrt{(4-1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=BC/2,\\ &MI=\sqrt{(4-3)^2+(4-9)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}=AC/2,\\ &NI=\sqrt{(1-3)^2+(5-9)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=AB/2. \end{aligned}\]

(ii) L’equazione della retta passante per AC è

    \[r:\ y=-5(x-2)\quad\Longrightarrow\quad 5x+y-10=0,\]

per cui la distanza tra B e r (che rappresenta l’altezza relativa alla base AC) è

    \[h=\frac{|5\cdot 6+8-10|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{26}},\]

e quindi si ha per l’area

    \[A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{28}{\sqrt{26}}\cdot 2\sqrt{26}=28.\]

(iii) In figura rappresentiamo il trapezio MNCB.

 

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Dobbiamo calcolare l’area del trapezio MNCB. L’altezza di tale trapezio coincide con la distanza del punto M dalla retta passante per il lato BC: essa ha equazione

    \[s:\ y-8=-\frac{1}{3}(x-6)\quad\Longrightarrow\quad x+3y-30=0,\]

per cui (ricordare che M=(4,4))

    \[h=\frac{|4+3\cdot 4-30|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{14}{\sqrt{10}},\]

e quindi

    \[A_{MNCB}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot(MN+BC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{14}{\sqrt{10}}\cdot 3\sqrt{10}=21.\]

 

Fonte: ignota.