Esercizio 2 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 2.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare le equazioni delle due rette r ed s parallele alla retta 4x-3y=0 ed aventi entrambe distanza 3 da questa. Determinare successivamente le coordinate dei due rombi aventi due lati opposti rispettivamente sulla r e sulla s ed un lato in comune sull’asse y.

 

Svolgimento. Rappresentiamo la retta y=(4/3)x.

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Le rette r,s essendo entrambe parallele alla retta t:\ 4x-3y=0 devono avere coefficiente angolare m=4/3, e quindi equazione generale

    \[y=\frac{4}{3} x+q.\]

Se P\in r (s) le sue coordinate saranno allora P=(x,4x/3+q), per cui la distanza di P dalla retta data \`{e}

    \[3=\mathrm{dist}(P,t)=\frac{\displaystyle\left|4x-3\left(\frac{4}{3} x+q\right)\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}= \frac{|3q|}{5}\]

e quindi

    \[|3q|=15\quad\Longrightarrow\quad |q|=5\quad\Longrightarrow\quad q=\pm 5,\]

e le rette sono

    \[r:\ y=\frac{4}{3} x+5,\qquad\qquad s:\ y=\frac{4}{3}x-5.\]

Di seguito vengono rappresentate le tre rette.

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Il lato del rombo sull’asse y ha intersezione nei vertici A, B con le rette r,s rispettivamente, per cui

    \[A=(0,5)\in r,\qquad B=(0,-5)\in s.\]

Ne segue che il lato del rombo è AB=10. Per determinare allora gli altri punti sulla retta r (o equivalentemente sulla retta s), basta considerare un generico punto Q\in r le cui coordinate sono

    \[Q=\left(x,\frac{4}{3}x+5\right),\]

tale che QA=AB=10. Ne segue che

    \[(x-0)^2+\left(\frac{4}{3} x+5-5\right)^2=100\quad\Longrightarrow x^2+\frac{16}{9} x^2=100,\]

da cui x^2=36 e quindi x=\pm 6, per cui le coordinate sono

    \[Q'=(6,13)\in r,\qquad Q''=(-6,-3)\in r.\]

Per determinare i punti R', R''\in s che chiudono i due rombi, \`{e} sufficiente osservare che i lati Q'R' e Q''R'' devono essere paralleli al lato AB. Quindi le coordinate dei punti cercati sono

    \[R'=(6,3)\in s,\qquad R''=(-6,-13)\in s,\]

ottenute sostituendo i valori x=\pm 6 nella equazione della retta s.
Di seguito rappresentiamo i due rombi.
Primo rombo

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Secondo rombo

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Rombi insieme

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Fonte: ignota.