Esercizio 14 ripasso geometria analitica (parabola)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 14.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (i) Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, tangente nell’origine O alla retta di equazione x+6y=0 e passante per il punto P(0,6).

(ii) Nel settore parabolico delimitato dalla parabola trovata e dall’asse y inscrivere un rettangolo ABCD (avente due vertici sulla parabola e gli altri due sull’asse y) di area 20.

 

Svolgimento.  (i) L’equazione da cercare è

    \[\gamma:\ x=ay^2+by+c\]

dove a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e b,c\in\mathbb{R}.
La condizione di passaggio per O implica che c=0. La condizione di passaggio per P implica

    \[0=36a+6b\quad\Longrightarrow\quad b=-6a.\]

Possiamo scrivere allora

    \[\gamma:\ x=a(y^2-6y).\]

Imponendo la condizione di tangenza tra la parabola e la retta, si ha

    \[-6y=ay^2-6ay\quad\Longrightarrow\quad ay^2-6(a-1)y=0.\]

Tale equazione ha soluzioni y=0,\ y=6(a-1)/a che devono coincidere: pertanto a=1 e l’equazione della parabola diviene

    \[\gamma:\ x=y^2-6y.\]

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

(ii) Si ha

    \[x=y^2-6y+9-9=(y-3)^2-9\quad \Leftrightarrow\quad x=3\pm\sqrt{x+9},\]

da cui

    \[A=\left(x,3-\sqrt{x+9}\right),\]

e

    \[D=\left(x,3+\sqrt{x+9}\right),\]

cioè i vertici del rettangolo appartenenti al sostegno della parabola; quindi i vertici del rettangolo sull’asse delle y hanno coordinate

    \[B=(0,3-\sqrt{x+9})\]

e

    \[C=(0,3+\sqrt{x+9}) .\]

Si consideri il rettangolo ABCD avente AB=CD=|x| e AD=BC=2\sqrt{x+9}, da cui sapendo che l’area deve essere uguale a 20, si ha

    \[2|x|\sqrt{x+9}=20\quad \Leftrightarrow\quad |x|\sqrt{x+9}=10.\]

Chiaramente per la geometria del problema x<0 e pertanto l’equazione diventa:

(1)   \begin{equation*} -x\sqrt{x+9}=10, \end{equation*}

inoltre x>-9, pertanto x\in (-9,0); elevando al quadrato entrambi i membri di (1) si ottiene

    \[x^2(x+9)=100\quad \Leftrightarrow\quad x^3+9x^2-100=0\quad \Leftrightarrow\quad(x+5)\left(x^2+4x-20\right)=0,\]

che ha come soluzioni:

    \[x=-5,\,x=-2\left(1+\sqrt{6}\right)\,\, \text{e}\,\,x=2\left(\sqrt{6}-1\right).\]

Chiaramente solo le prime due sono accettabili per la condizione di esistenza imposta. Sostituendo i valori accettabili nelle coordinate dei punti, si ottiene

    \[\boxcolorato{analisi}{A=(-5,1),\,\,B=(0,1),\,\,C=(0,5),\,D=(-5,5)}\]

e

    \[\boxcolorato{analisi}{A=\left(-2\left(1+\sqrt{6}\right),4-\sqrt{6}\right),\,\,B=\left(0,4-\sqrt{6}\right),\,\,C=\left(0,2+\sqrt{6}\right),\,D=\left(-2\left(1+\sqrt{6}\right),2+\sqrt{6}\right)}\]

dove si è usato \sqrt{9-2\left(1+\sqrt{6}\right)}=\sqrt{6}-1.

 

Graficamente rappresentiamo il primo rettangolo

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

e il secondo rettangolo

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Secondo procedimento. Le coordinate dei vertici del rettangolo sono

(2)   \begin{equation*} A=(\gamma^2-6\gamma,\beta),\quad B=(\beta^2-6\beta,\beta),\quad C=(0,\beta),\quad D=(0,\gamma), \end{equation*}

con le condizioni che

    \[\alpha,\beta>0,\quad \beta-\gamma>0,\quad 0<\gamma<\beta <6,\quad \beta^2-6\beta<0,\quad\gamma^2-6\gamma<0.\]

Dalla geometria del problema si ha che

    \[\begin{cases} \left(\beta-\gamma\right)\left(6\beta-\beta^2\right)=20\\ 6\beta-\beta^2=6\gamma-\gamma^2; \end{cases}\]

dalla seconda equazione del sistema si ha

    \[\gamma^2-\beta^2=6(\gamma-\beta)\quad\Longrightarrow\quad \gamma=6-\beta,\]

e quindi sostituendo nella prima si ottiene

    \[\left(2\beta-6\right)\left(6\beta-\beta^2\right)=20\quad \Leftrightarrow\quad \beta^3-9\beta^2+18\beta+10=0,\]

o anche

    \[2\left(\beta-5\right)\left(\beta^2-4\beta-2\right)=0,\]

che ha come soluzioni

    \[\beta=5,\quad \beta=2+\sqrt{6},\quad \beta=2-\sqrt{6}.\]

Chiaramente solo le prime due soluzioni sono accettabili per le condizioni di esistenza; sostituendo tali valori in (2) si ritrovano i medesimi valori trovati con il primo procedimento.

 

Fonte: ignota.