Esercizio 13 ripasso geometria analitica (parabola)

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Esercizio 13. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ $(i)$ Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse $y$ , che incontra l’asse $x$ nei punti $A$ e $B$ di ascisse rispettivamente $-1$ e $5$ e la cui tangente $t$ in $A$ è perpendicolare alla retta $r$ di equazione $x+2y-1=0$ .

$(ii)$ Determinare il punto $C$ di intersezione tra la $t$ e la $r$ , l’equazione della retta $s$ parallela alla $r$ e passante per $B$ ed il rapporto tra le distanze di $A$ e $C$ da $s$ .

Svolgimento. $(i)$ L’equazione della parabola cercata ha la forma

$\gamma:\ y=ax^2+bx+c$

dove $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $b,c\in\mathbb{R}$ .
Le coordinate di $A, B$ sono $A=(-1,0)$ e $B=(5,0)$ . Sostituendo nell’equazione della parabola si ha

$\begin{aligned} \begin{cases} 0=a-b+c\\ 0=25a+5b+c \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=b-a\\ 25a+5b+b-a=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=b-a\\ 24a+6b=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=-5a\\ b=-4a \end{cases} \end{aligned}$

da cui

$\gamma:\ y=a(x^2-4x-5).$

Il coefficiente angolare della retta $t$ è $m_t=2$ per cui

$t:\ y-0=2(x+1)\quad\Longrightarrow\quad t:\ y=2x+2.$

Sostituendo nell’equazione di $\gamma$ abbiamo

$2x+2=a(x^2-4x-5)\quad\Longrightarrow\quad ax^2-2(2a+1)x-(2+5a)=0,$

ed imponendo che tale equazione abbia una sola soluzione si ha

$4(2a+1)^2+4a(2+5a)=0\quad\Longrightarrow\quad 4a^2+4a+1+2a+5a^2=0,$

e quindi

$9a^2+6a+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (3a+1)^2=0,$

da cui $a=-1/3$ . L’equazione della parabola è pertanto

$\gamma:\ y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3} x+\frac{5}{3}.$

Di seguito la situazione geometrica.

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$(ii)$ Abbiamo

$\{C\}=t\cap r\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} y=2x+2\\ x+2y-1=0 \end{array}\right.,$

la cui soluzione è $C=(-3/5, 4/5)$ . Di seguito la rappresentazione geometrica.

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L’equazione di $s$ è

$s:\ y-0=-\frac{1}{2}(x-5)\quad\Longrightarrow\quad s:\ x+2y-5=0.$

Di seguito la rappresentazione geometrica.

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Ora ricordando che

$A=(-1,0),\quad B=\left( -\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)\quad \text{e}\quad s:x+2y-5=0.$

Le distanze cercate valgono allora

$\begin{aligned} &\alpha=\mathrm{dist}(A,s)=\frac{|-1+2\cdot 0-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}},\\ &\beta=\mathrm{dist}(C,s)=\frac{|-3/5+2\cdot 4/5-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}, \end{aligned}$

e il loro rapporto è

$R=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{3}{2}.$

Fonte:ignota.