Esercizio 13 ripasso geometria analitica (parabola)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 13.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (i) Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, che incontra l’asse x nei punti A e B di ascisse rispettivamente -1 e 5 e la cui tangente t in A è perpendicolare alla retta r di equazione x+2y-1=0.

(ii) Determinare il punto C di intersezione tra la t e la r, l’equazione della retta s parallela alla r e passante per B ed il rapporto tra le distanze di A e C da s.

 

Svolgimento. (i) L’equazione della parabola cercata ha la forma

    \[\gamma:\ y=ax^2+bx+c\]

dove a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e b,c\in\mathbb{R}.
Le coordinate di A, B sono A=(-1,0) e B=(5,0). Sostituendo nell’equazione della parabola si ha

    \[\begin{aligned} \begin{cases} 0=a-b+c\\ 0=25a+5b+c \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=b-a\\ 25a+5b+b-a=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=b-a\\ 24a+6b=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} c=-5a\\ b=-4a \end{cases} \end{aligned}\]

da cui

    \[\gamma:\ y=a(x^2-4x-5).\]

Il coefficiente angolare della retta t è m_t=2 per cui

    \[t:\ y-0=2(x+1)\quad\Longrightarrow\quad t:\ y=2x+2.\]

Sostituendo nell’equazione di \gamma abbiamo

    \[2x+2=a(x^2-4x-5)\quad\Longrightarrow\quad ax^2-2(2a+1)x-(2+5a)=0,\]

ed imponendo che tale equazione abbia una sola soluzione si ha

    \[4(2a+1)^2+4a(2+5a)=0\quad\Longrightarrow\quad 4a^2+4a+1+2a+5a^2=0,\]

e quindi

    \[9a^2+6a+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (3a+1)^2=0,\]

da cui a=-1/3. L’equazione della parabola è pertanto

    \[\gamma:\ y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3} x+\frac{5}{3}.\]

Di seguito la situazione geometrica.

 

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(ii) Abbiamo

    \[\{C\}=t\cap r\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} y=2x+2\\ x+2y-1=0 \end{array}\right.,\]

la cui soluzione è C=(-3/5, 4/5). Di seguito la rappresentazione geometrica.

 

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L’equazione di s è

    \[s:\ y-0=-\frac{1}{2}(x-5)\quad\Longrightarrow\quad s:\ x+2y-5=0.\]

Di seguito la rappresentazione geometrica.

 

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Ora ricordando che

    \[A=(-1,0),\quad B=\left( -\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)\quad \text{e}\quad s:x+2y-5=0.\]

Le distanze cercate valgono allora

    \[\begin{aligned} &\alpha=\mathrm{dist}(A,s)=\frac{|-1+2\cdot 0-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}},\\ &\beta=\mathrm{dist}(C,s)=\frac{|-3/5+2\cdot 4/5-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}, \end{aligned}\]

e il loro rapporto è

    \[R=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{3}{2}.\]

Fonte:ignota.