Esercizio 12 ripasso geometria analitica (parabola)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 12.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (i) Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, avente il vertice nel punto V=(2,0) e passante per A=(17/4, 81/16).

(ii) Determinare l’intersezione B della parabola con l’asse y e determinare l’equazione della retta r perpendicolare alla tangente alla parabola in B; verificare che la retta r passa per A.

(iii) Individuare la parallela alla retta r sulla quale la parabola stacca una corda lunga 25\sqrt{17}/16.

 

Svolgimento. (i) L’equazione generica cercata è

    \[\gamma:\ y=ax^2+bx+c\]

con a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e b,c\in\mathbb{R}. Dalle coordinate del vertice otteniamo

    \[-\frac{b}{2a}=2,\qquad -\frac{b^2-4ac}{4a}=0,\]

e quindi

    \[b=-4a,\quad b^2=4ac\quad\Longrightarrow\quad b=-4a,\quad 4ac=16a^2,\]

e quindi b=-4a,\ c=4a, e possiamo riscrivere l’equazione della parabola come

    \[\gamma:\ y=a(x^2-4x+4).\]

Sostituendo le coordinate di A in tale equazione si trova

    \[\frac{81}{16}=a\left(\frac{289}{16}-17+4\right)\quad\Longrightarrow\quad \frac{81}{16}=a\cdot\frac{81}{16},\]

e quindi a=1. L’equazione cercata è pertanto

    \[\gamma:\ y=x^2-4x+4=(x-2)^2.\]

Di seguito la situazione geometrica.

 

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(ii) Abbiamo

    \[\{B\}=\gamma\cap\{x=0\}\quad\Longrightarrow\quad B=(0,2).\]

La generica retta passante per B ha equazione y-2=mx, e quindi y=mx+4. Sostituendo nella equazione della parabola si ha

    \[mx+2=x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad x^2-(4+m)x+2=0,\]

le cui soluzioni sono x=0,\ x=m+4. Poiché cerchiamo la retta tangente, le soluzioni devono coincidire [1] e quindi deve essere m+4=0 da cui m=-4. Il coefficiente angolare della retta cercata è allora m'=1/4 e l’equazione della retta è

    \[r:\ y-4=\frac{1}{4}x\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+4.\]

Per x=17/4 otteniamo

    \[y=\frac{1}{4}\cdot\frac{17}{4}+4=\frac{81}{16},\]

quindi A\in r.
Di seguito la situazione geometrica

 

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(iii) La retta t parallela alla r ha equazione generica

    \[t:\ y=\frac{1}{4} x+q.\]

Le intersezioni di tale retta con la parabola sono date dall’equazione

    \[\frac{1}{4}x+q=x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-17x+4(4-q)=0.\]

Posto \Delta=17^2-4^3(4-q)=33+64q, le soluzioni sono

    \[x_{1,2}=\frac{17\pm\sqrt{\Delta}}{8},\]

che corrispondono ai punti

    \[C=\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)\qquad D=\left(\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}+q\right).\]

La lunghezza della corda CD è pari a

    \[ \begin{aligned} &CD=\sqrt{\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8}-\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8}\right)^2 \left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q-\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}-q\right)^2}=\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{16}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{17\Delta}{256}}=\dfrac{1}{16}\sqrt{17\Delta}, \end{aligned} \]

e imponendo che CD=25\sqrt{17}/16, si ha

    \[\dfrac{1}{16}\sqrt{17\Delta}=\dfrac{25\sqrt{17}}{16}\quad \Leftrightarrow\quad \sqrt{\Delta}=25\quad \Leftrightarrow\quad \Delta=625.\]

Pertanto sostituendo l’espressione di \Delta si trova

    \[\Delta=625\quad\Longrightarrow\quad 33+64q=625 \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{37}{4},\]

e in definitiva l’equazione della retta cercata è

    \[t:\ y=\frac{1}{4} x+\frac{37}{4}.\]

In particolare i due punti sono

    \[C=\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)=\left(\frac{17-25}{8},\frac{17-25}{32}+\dfrac{37}{4}\right)=\left(-1,9\right)\]

e

    \[D=\left(\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)=\left(\frac{17+25}{8},\frac{17+25}{32}+\dfrac{37}{4}\right)=\left(\dfrac{21}{4},\dfrac{169}{16}\right).\]

Di seguito la situazione geometrica.

 

 

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Fonte: ignota.

 

 

1. Si ricorda che la retta per essere tangente alla parabola deve valere \Delta=0, cioè le soluzioni devono essere coincidenti.