Esercizio 12 ripasso geometria analitica (parabola)

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Esercizio 12. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ $(i)$ Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse $y$ , avente il vertice nel punto $V=(2,0)$ e passante per $A=(17/4, 81/16)$ .

$(ii)$ Determinare l’intersezione $B$ della parabola con l’asse $y$ e determinare l’equazione della retta $r$ perpendicolare alla tangente alla parabola in $B$ ; verificare che la retta $r$ passa per $A$ .

$(iii)$ Individuare la parallela alla retta $r$ sulla quale la parabola stacca una corda lunga $25\sqrt{17}/16$ .

Svolgimento. $(i)$ L’equazione generica cercata è

$\gamma:\ y=ax^2+bx+c$

con $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $b,c\in\mathbb{R}$ . Dalle coordinate del vertice otteniamo

$-\frac{b}{2a}=2,\qquad -\frac{b^2-4ac}{4a}=0,$

e quindi

$b=-4a,\quad b^2=4ac\quad\Longrightarrow\quad b=-4a,\quad 4ac=16a^2,$

e quindi $b=-4a,\ c=4a$ , e possiamo riscrivere l’equazione della parabola come

$\gamma:\ y=a(x^2-4x+4).$

Sostituendo le coordinate di $A$ in tale equazione si trova

$\frac{81}{16}=a\left(\frac{289}{16}-17+4\right)\quad\Longrightarrow\quad \frac{81}{16}=a\cdot\frac{81}{16},$

e quindi $a=1$ . L’equazione cercata è pertanto

$\gamma:\ y=x^2-4x+4=(x-2)^2.$

Di seguito la situazione geometrica.

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$(ii)$ Abbiamo

$\{B\}=\gamma\cap\{x=0\}\quad\Longrightarrow\quad B=(0,2).$

La generica retta passante per $B$ ha equazione $y-2=mx$ , e quindi $y=mx+4$ . Sostituendo nella equazione della parabola si ha

$mx+2=x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad x^2-(4+m)x+2=0,$

le cui soluzioni sono $x=0,\ x=m+4$ . Poiché cerchiamo la retta tangente, le soluzioni devono coincidire [1] e quindi deve essere $m+4=0$ da cui $m=-4$ . Il coefficiente angolare della retta cercata è allora $m'=1/4$ e l’equazione della retta è

$r:\ y-4=\frac{1}{4}x\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+4.$

Per $x=17/4$ otteniamo

$y=\frac{1}{4}\cdot\frac{17}{4}+4=\frac{81}{16},$

quindi $A\in r$ .
Di seguito la situazione geometrica

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$(iii)$ La retta $t$ parallela alla $r$ ha equazione generica

$t:\ y=\frac{1}{4} x+q.$

Le intersezioni di tale retta con la parabola sono date dall’equazione

$\frac{1}{4}x+q=x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-17x+4(4-q)=0.$

Posto $\Delta=17^2-4^3(4-q)=33+64q$ , le soluzioni sono

$x_{1,2}=\frac{17\pm\sqrt{\Delta}}{8},$

che corrispondono ai punti

$C=\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)\qquad D=\left(\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}+q\right).$

La lunghezza della corda $CD$ è pari a

$\begin{aligned} &CD=\sqrt{\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8}-\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8}\right)^2 \left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q-\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}-q\right)^2}=\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{16}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{17\Delta}{256}}=\dfrac{1}{16}\sqrt{17\Delta}, \end{aligned}$

e imponendo che $CD=25\sqrt{17}/16$ , si ha

$\dfrac{1}{16}\sqrt{17\Delta}=\dfrac{25\sqrt{17}}{16}\quad \Leftrightarrow\quad \sqrt{\Delta}=25\quad \Leftrightarrow\quad \Delta=625.$

Pertanto sostituendo l’espressione di $\Delta$ si trova

$\Delta=625\quad\Longrightarrow\quad 33+64q=625 \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{37}{4},$

e in definitiva l’equazione della retta cercata è

$t:\ y=\frac{1}{4} x+\frac{37}{4}.$

In particolare i due punti sono

$C=\left(\frac{17-\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17-\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)=\left(\frac{17-25}{8},\frac{17-25}{32}+\dfrac{37}{4}\right)=\left(-1,9\right)$

$D=\left(\frac{17+\sqrt{\Delta}}{8},\frac{17+\sqrt{\Delta}}{32}+q\right)=\left(\frac{17+25}{8},\frac{17+25}{32}+\dfrac{37}{4}\right)=\left(\dfrac{21}{4},\dfrac{169}{16}\right).$

Di seguito la situazione geometrica.

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Fonte: ignota.

1. Si ricorda che la retta per essere tangente alla parabola deve valere $\Delta=0$ , cioè le soluzioni devono essere coincidenti.

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