Esercizio 12.
Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse
, avente il vertice nel punto
e passante per
.
Determinare l’intersezione
della parabola con l’asse
e determinare l’equazione della retta
perpendicolare alla tangente alla parabola in
; verificare che la retta
passa per
.
Individuare la parallela alla retta
sulla quale la parabola stacca una corda lunga
.
Svolgimento. L’equazione generica cercata è
con e
. Dalle coordinate del vertice otteniamo
e quindi
e quindi , e possiamo riscrivere l’equazione della parabola come
Sostituendo le coordinate di in tale equazione si trova
e quindi . L’equazione cercata è pertanto
Di seguito la situazione geometrica.
Abbiamo
La generica retta passante per ha equazione
, e quindi
. Sostituendo nella equazione della parabola si ha
le cui soluzioni sono . Poiché cerchiamo la retta tangente, le soluzioni devono coincidire [1] e quindi deve essere
da cui
. Il coefficiente angolare della retta cercata è allora
e l’equazione della retta è
Per otteniamo
quindi .
Di seguito la situazione geometrica
La retta
parallela alla
ha equazione generica
Le intersezioni di tale retta con la parabola sono date dall’equazione
Posto , le soluzioni sono
che corrispondono ai punti
La lunghezza della corda è pari a
e imponendo che , si ha
Pertanto sostituendo l’espressione di si trova
e in definitiva l’equazione della retta cercata è
In particolare i due punti sono
e
Di seguito la situazione geometrica.
Fonte: ignota.
1. Si ricorda che la retta per essere tangente alla parabola deve valere , cioè le soluzioni devono essere coincidenti.