Esercizio 10 ripasso geometria analitica (circonferenza e retta)

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Esercizio 10. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Si consideri la circonferenza $\gamma$ avente il centro nel punto $C=(4,-3)$ e passante per l’origine $O$ del sistema di riferimento. Detto $P$ il punto di intersezione (diverso dall’origine) fra la $\gamma$ e la retta $b$ bisettrice del secondo e quarto quadrante, si conduca da $P$ la perpendicolare alla $b$ e sia $Q$ il suo punto (della retta perpendicolare a $b$ ) di intersezione con l’asse $y$ ; da $Q$ si conduca la retta $s$ parallela all’asse $x$ e sia $R$ la sua intersezione con la retta $b$ . Trovare:

$(i)$ l’area del triangolo $PQR$ ;

$(ii)$ l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo $PQR$ .

Svolgimento. L’equazione della circonferenza ha la forma

$\gamma:\ (x-4)^2+(y+3)^2=r^2,$

da cui, sostituendo le coordinate di $O(0,0)$ in essa, si torva

$(0-4)^2+(0+3)^2=r^2\quad\Longrightarrow\quad 16+9=r^2\quad\Longrightarrow r=5,$

e quindi

$\gamma:\ (x-4)^2+(y+3)^2=25.$

Di seguito il grafico del sostegno della circonferenza.

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L’equazione della bisettrice \`{e} $b:\ y=-x$ . Ne segue che

$\{P\}=\gamma\cap b\quad\Longrightarrow\quad (x-4)^2+(-x+3)^2=25,$

da cui l’equazione

$x^2-8x+16+x^2-6x+9=25\quad\Longrightarrow\quad x^2-7x=0,$

le cui soluzioni sono $x=0,\ x=7$ . Poiché $x=0$ conduce al punto $O$ , abbiamo che $P=(7,-7)$ . Di seguito il grafico del sostegno della circonferenza e della bisettrice $y=-x$ e i loro punti di intersezione.

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Chiamiamo $t$ la retta perpendicolare a $b$ che ha coefficiente angolare $m_t=1$ e quindi la sua equazione é

$t:\ y+7=x-7\quad\Longrightarrow\quad y=x-14.$

Si ha allora

$\{Q\}=t\cap\{x=0\}\quad\Longrightarrow\quad Q=(0,-14).$

Di seguito la nuova figura con le informazioni trovate.

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La retta $s$ , essendo parallela all’asse $x$ , ha equazione generica $y=k$ . Poiché $Q\in s$ , segue che $s:\ y=-14$ . Quindi

$\{R\}=b\cap s\quad\Longrightarrow\quad R=(14,-14).$

Di seguito la nuova figura con le informazioni trovate.

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$(i)$ Si consideri ora il triangolo $RPQ$ in figura

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Si osservi che l’angolo $Q\widehat{P}R$ è retto, in quanto $QP\subset t$ e $PR\subset b$ e le rette $b, t$ sono perpendicolari. Ne segue che, essendo

$QP=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2},\qquad PR=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2},$

in triangolo oltre ad essere rettangolo è isoscele, in particolare la sua area risulta uguale a

$\boxcolorato{analisi}{A_{QPR}=\frac{1}{2}\cdot QP\cdot PR=49.}$

$(ii)$ La circonferenza $\Gamma$ circoscritta al triangolo dato \`{e} tale che $P,Q,R\in\Gamma$ . Inoltre, essendo $QPR$ rettangolo, ne segue che l’ipotenusa del triangolo coincide con il diametro della circonferenza stessa, e il punto medio coincide con il centro. Essendo quindi