Esercizio 10. Si consideri la circonferenza avente il centro nel punto e passante per l’origine del sistema di riferimento. Detto il punto di intersezione (diverso dall’origine) fra la e la retta bisettrice del secondo e quarto quadrante, si conduca da la perpendicolare alla e sia il suo punto (della retta perpendicolare a ) di intersezione con l’asse ; da si conduca la retta parallela all’asse e sia la sua intersezione con la retta . Trovare:
l’area del triangolo ;
l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo .
Svolgimento. L’equazione della circonferenza ha la forma
da cui, sostituendo le coordinate di in essa, si torva
e quindi
Di seguito il grafico del sostegno della circonferenza.
L’equazione della bisettrice \`{e} . Ne segue che
da cui l’equazione
le cui soluzioni sono . Poiché conduce al punto , abbiamo che . Di seguito il grafico del sostegno della circonferenza e della bisettrice e i loro punti di intersezione.
Chiamiamo la retta perpendicolare a che ha coefficiente angolare e quindi la sua equazione é
Si ha allora
Di seguito la nuova figura con le informazioni trovate.
La retta , essendo parallela all’asse , ha equazione generica . Poiché , segue che . Quindi
Di seguito la nuova figura con le informazioni trovate.
Si consideri ora il triangolo in figura
Si osservi che l’angolo è retto, in quanto e e le rette sono perpendicolari. Ne segue che, essendo
in triangolo oltre ad essere rettangolo è isoscele, in particolare la sua area risulta uguale a
La circonferenza circoscritta al triangolo dato \`{e} tale che . Inoltre, essendo rettangolo, ne segue che l’ipotenusa del triangolo coincide con il diametro della circonferenza stessa, e il punto medio coincide con il centro. Essendo quindi
e
l’equazione della circonferenza cercata è
Altrimenti si potevano sostituire i tre punti in un equazione generica di una circonferenza
dove sono costanti da determinare, ottenendo
da cui
cioè
come ottenuto in precedenza. Di seguito la situazione geometrica.
Fonte: ignota.