Esercizio 1 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sono dati i due punti A=(2,-2) e B=(0,2). Determinare sulla semiretta bisettrice del primo quadrante un punto C, in modo che il triangolo ABC risulti:

(i) rettangolo con ipotenusa AB;

(ii) rettangolo con ipotenusa AC;

(iii) isoscele con base BC.

 

Svolgimento. In figura rappresentiamo il triangolo con il vertice di coordinate generiche C=(x,x)

 

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Il punto C appartiene alla bisettrice di equazione y=x solo per x>0 pertanto C=(x,x). Abbiamo allora, considerando il triangolo ABC, le seguenti richieste:

(i) AB^2=AC^2+BC^2;

(ii) AC^2=AB^2+BC^2;

(iii) AC^2=AB^2.

Poichè

    \[\begin{aligned} &AB^2=(2-0)^2+(-2-2)^2=4+16=20,\\ &AC^2=(2-x)^2+(-2-x)^2=4-4x+x^2+4+4x+x^2=2x^2+8,\\ &BC^2=(0-x)^2+(2-x)^2=x^2+4-4x+x^2=2x^2-4x+4, \end{aligned}\]

segue che:

(i) abbiamo l’equazione

    \[20=2x^2+8+2x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad x^2-x-2=0,\]

le cui soluzioni sono x=-1,\ x=2, e quindi si hanno i due punti

    \[C_1=(-1,-1)\qquad C_2=(2,2);\]

Di seguito il primo triangolo

 

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e il secondo triangolo

 

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(ii) abbiamo l’equazione

    \[2x^2+8=20+2x^2-4x+4\quad\Longrightarrow\quad x=4,\]

e quindi l’unico punto C=(4,4); di seguito il triangolo trovato

 

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(iii) abbiamo l’equazione

    \[2x^2+8=20\quad\Longrightarrow\quad x^2=6,\]

e quindi le due soluzioni C_3=(-\sqrt{6},-\sqrt{6}),\ C_4=(\sqrt{6},\sqrt{6}).

Di seguito il primo triangolo

 

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e il secondo triangolo

 

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Fonte: ignota.