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Esercizio 7.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[27x^3+1=0.\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento.  L’equazione presenta solo due termini, quindi può essere portato nella forma canonica x^n=a\in\mathbb{R}.
Iniziamo portando a sinistra il termine con l’incognita e a destra il termine noto:

    \[27x^3=-1,\]

e isoliamo il termine x^3, dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente, e semplifichiamo:

    \[27x^3=-1\quad \Leftrightarrow \quad \frac{27x^3}{27}=\frac{-1}{27}\quad \Leftrightarrow \quad x^3=-\frac{1}{27}.\]

Adesso che abbiamo la forma canonica notiamo che la potenza dell’incognita è dispari, quindi l’equazione ammette una soluzione reale; nella fattispecie applichiamo a entrambi i membri la radice cubica ottenendo:

    \[\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\frac{-1}{27}},\]

e risolvendo infine la radice si ottiene:

    \[x=\frac{-1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3} .\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,x=-\dfrac{1}{3}\right\}. }\]

Fonte: clicca qui