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Esercizio 6.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

(1)   \begin{equation*} \dfrac{2x+3}{2x^2-18}+\dfrac{x+4}{2x^2-12x+18}=0 \end{equation*}

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Si ha

    \[\begin{aligned} &\dfrac{2x+3}{2\left(x^2-9\right)}+\dfrac{x+4}{2\left(x^2-6x+9\right)}=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x+3}{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x+4}{2\left(x-3\right)^2}=0\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\dfrac{\left(2x+3\right)\left(x-3\right)+\left(x+4\right)\left(x+3\right)}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}=0\quad \Leftrightarrow \quad\dfrac{3x^2+4x+3}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}=0\\&\quad \Leftrightarrow \quad\dfrac{\left(3x+2\right)^2+5}{6\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}=0 \end{aligned}\]

e notiamo che l’equazione è definita per ogni x\in \mathbb{R}\setminus\{\pm 3\}.
Risulta immediato notare che

    \[\left(3x+2\right)^2+5\neq0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{\pm 3\},\]

quindi  la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \nexists x \in \mathbb{R}. }\]

Fonte: Esercizi di Teresa D’Aprile