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Esercizio 10.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[x^4-16x^2=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Il primo passo per la risoluzione è la scomposizione in fattori e, in seguito, la risoluzione dell’equazione associata ad ogni fattore; il trucco è scomporre finché tutti i fattori non siano polinomi che, uguagliati a 0, portino a equazioni facilmente risolvibili.
In questo caso possiamo scomporre facilmente il polinomio applicando un raggruppamento totale:

    \[x^4-16x^2=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2(x^2-16)=0.\]

Adesso risolviamo le equazioni associate ai fattori (ricordiamo che l’insieme delle soluzioni di un polinomio è l’unione delle soluzioni delle equazioni associate ad ogni suo fattore):

    \begin{align*} &x^2=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0\,\, (\text{due soluzioni reali e coincidenti})\\ & x^2-16=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=16\quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 4. \end{align*}

L’insieme delle soluzioni è dunque dato da

    \[\boxcolorato{analisi}{S=\{-4,0,4\}}\]

dove 0 ha molteplicità 2, e quindi l’equazione ha 4 soluzioni reali.

Fonte: Clicca qui