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Esercizio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente disequazione

    \[\dfrac{x^2-\left( \sqrt{5}-\pi\right)x-\sqrt{5}\pi}{-x^2-1}\leq 0\]

nell’incognita reale x, determinane l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Osserviamo quanto segue:

    \[\begin{aligned} \dfrac{x^2-\left( \sqrt{5}-\pi\right)x-\sqrt{5}\pi}{-x^2-1}&=-\dfrac{x^2- \sqrt{5}x+\pi x-\sqrt{5}\pi}{x^2+1}=\\ &=-\dfrac{x\left(x-\sqrt{5}\right)+\pi\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}=\\ &=-\dfrac{\left(x+\pi\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}\ \end{aligned}\]

da cui

    \[-\dfrac{\left(x+\pi\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}\leq 0\]

cioè

    \[\dfrac{\left(x+\pi\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}\geq 0.\]

Studiamo il numeratore maggiore uguale a zero

    \[\begin{aligned} &x\geq -\pi\\ &x\geq \sqrt{5}\\ \end{aligned}\]

e il denominatore maggiore di zero

    \[x^2+1>0, \quad \forall x \in\mathbb{R}\]

da cui applicando il metodo dei segni, si ha il seguente grafico

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Prendendo le soluzioni positive si puo’ conclude che la soluzione \mathcal{S} della disequazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\bigg(-\infty,-\pi\bigg]\cup \bigg[\sqrt{5},+\infty\bigg). }\]

Fonte: Esercizi di Teresa D’Aprile