Unione e intersezione

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$A \cup B$	Unione degli insiemi $A$ e $B$ ;
$A \cap B$	Intersezione degli insiemi $A$ e $B$ ;
$\emptyset$	Insieme vuoto.

Introduzione

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L’unione e l’intersezione sono le operazioni basilari che è possibile compiere con gli insiemi. Avendo a disposizione due insiemi $A$ e $B$ , risulta naturale costruire i seguenti insiemi:

$\quad$

l’insieme contenente tutti gli elementi di $A$ e quelli di $B$ , ossia quello che si ottiene unendo gli elementi di $A$ e di $B$ , che viene detto unione di $A$ e $B$ ;

l’insieme contenente gli elementi che appartengono sia ad $A$ che a $B$ , che viene detto intersezione di $A$ e $B$ .

In questo breve articolo definiamo formalmente questi concetti, ne forniamo esempi e ne spieghiamo le proprietà fondamentali.

Unione

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Definizione 1. L’unione dei due insiemi $A$ e $B$ è un nuovo insieme, indicato come $A \cup B$ , formato da tutti gli elementi che appartengono ad $A$ o a $B$ .

$\quad$

Per esempio, se

$A=\{1,\,2,\,5\} \qquad \text{e} \qquad B=\{1,\,6\},$

allora

$A \cup B = \{ 1 ,2,5,6\}.$

Utilizzando un diagramma di Eulero-Venn, l’unione è rappresentata come tutta l’area del cerchio che rappresenta $A$ e il cerchio che rappresenta $B$ :

$\quad$

Figura 1.

$\quad$

Se $U$ è un insieme, $p,q$ due proprietà e definiamo gli insiemi

$\begin{gather*} A=\{x\in U\,:\, p(x) \}\qquad \text{ e } \qquad B=\{x\in U\,:\,q(x)\}, \end{gather*}$

allora la loro unione $A\cup B$ è formata da tutti gli elementi che soddisfano la proprietà $p$ oppure la proprietà $q$ , ossia

$A\cup B= \{x\in U\,:\, p(x)\vee q(x) \}.$

La seguente proposizione esprime le proprietà dell’unione.

Proposizione 2. Se $A,B,C$ sono insiemi, valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

Proprietà Commutativa: $A\cup B= B\cup A$ .

Proprietà Associativa: $(A\cup B)\cup C= A\cup (B\cup C)$ .

Elemento neutro e idempotenza: $A \cup \emptyset = A$ e $A \cup A= A$ .

Relazione con l’inclusione: $A,B \subseteq A \cup B$ ; inoltre $A \cup B = B$ se e solo se $A \subseteq B$ .

$\quad$

Dimostrazione.

La proprietà commutativa è una ovvia conseguenza della definizione.

Per la proprietà associativa, si consideri $x \in (A\cup B)\cup C$ ; ciò è equivalente a dire che $x$ appartiene all’insieme $A \cup B$ , oppure all’insieme $C$ . Ciò vale se e solo se $x$ appartiene all’insieme $A$ , o all’insieme $B$ , o all’insieme $C$ . Dato che lo stesso si può dedurre dell’insieme $A \cup (B \cup C)$ , tali insiemi sono uguali.

$x \in A \cup \emptyset$ se e solo se $x \in A$ oppure $x \in \emptyset$ . Dato che nessun elemento appartiene all’insieme vuoto, la seconda possibilità non si verifica mai e dunque $x \in A \cup \emptyset$ se e solo se $x \in A$ , mostrando cioè che $A \cup \emptyset=A$ . Il fatto che $A \cup A=A$ è ovvio, in quanto gli elementi che appartengono a $A$ oppure a $A$ sono appunto tutti e soli quelli di $A$ .

Ovviamente $A$ e $B$ sono sottoinsiemi di $A \cup B$ in quanto quest’ultimo contiene gli elementi di ciascuno dei primi due.
Riguardo all’ultima parte dell’enunciato, se $A \cup B=B$ , ciò vuol dire che tutti gli elementi di $A$ e di $B$ appartengono a $B$ , dunque $A$ è un sottoinsieme di $B$ . Viceversa, se $A \subseteq B$ , gli elementi che appartengono ad $A$ sono anche elementi di $B$ , quindi gli elementi che appartengono ad $A$ o a $B$ sono tutti e soli quelli di $B$ .

Intersezione

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Definizione 3. L’intersezione dei due insiemi $A$ e $B$ è un nuovo insieme indicato come $A \cap B$ formato da tutti gli elementi che appartengono sia ad $A$ che a $B$ . Nel caso in cui tale insieme sia vuoto, si dice che $A$ e $B$ sono disgiunti.

$\quad$

Per esempio, se

$A=\{1,\,2,\,5\}, \qquad B=\{1,\,6\}, \qquad C= \{6\}$

allora

$A \cap B = \{ 1 \}, \qquad A \cap C= \emptyset, \qquad B \cap C= \{6\}.$

Utilizzando un diagramma di Eulero-Venn, l’intersezione rappresenta l’area in comune tra il cerchio che rappresenta $A$ e il cerchio che rappresenta $B$ :

$\quad$

Figura 2.

$\quad$

Notiamo infine che se $A$ e $B$ non hanno elementi in comune allora $A\cap B = \emptyset$ e i due insiemi $A$ e $B$ si dicono disgiunti. Inoltre si ha che $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$ , ovvero $A$ è un sottoinsieme di $B$ se e solo se l’intersezione tra $A$ e $B$ è l’insieme $A$ stesso.

Se $U$ è un insieme, $p,q$ due proprietà e definiamo gli insiemi

$\begin{gather*} A=\{x\in U\,:\, p(x) \}\qquad \text{ e } \qquad B=\{x\in U\,:\,q(x)\}, \end{gather*}$

allora la loro intersezione $A\cap B$ è formata da tutti gli elementi che soddisfano sia la proprietà $p$ che la proprietà $q$ , ossia

$A\cup B= \{x\in U \colon p(x)\land q(x) \}.$

La seguente proposizione esprime le proprietà dell’unione.

Proposizione 4. Se $A,B,C$ sono insiemi, valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

Proprietà Commutativa: $A\cap B= B\cap A$ .

Proprietà Associativa: $(A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C)$ .

Idempotenza: $A \cap A = A$ .

Relazione con l’inclusione: $A \cap B \subseteq A,B$ ; inoltre $A \cap B = A$ se e solo se $A \subseteq B$ .

$\quad$

Dimostrazione.

La proprietà commutativa è una ovvia conseguenza della definizione.

La proprietà associativa si dimostra in maniera del tutto analoga a quanto fatto per l’unione: si consideri $x \in (A\cap B)\cap C$ ; ciò equivale a dire che $x$ appartiene sia all’insieme $A \cap B$ che all’insieme $C$ . Questo vale se e solo se $x$ appartiene sia all’insieme $A$ , che all’insieme $B$ , che all’insieme $C$ . Lo stesso si può dedurre dell’insieme $A \cup (B \cup C)$ , quindi i due insiemi sono uguali.

Ovviamente $A\cap B$ è un sottoinsieme sia di $A$ che di $B$ in quanto i suoi elementi appartengono a entrambi.
Se $A \cap B=A$ , allora in particolare $A \subseteq A \cap B$ e quindi tutti gli elementi di $A$ appartengono anche a $A \cap B$ , ossia sono anche elementi di $B$ , dunque $A$ è un sottoinsieme di $B$ . Viceversa, se $A \subseteq B$ , gli elementi che appartengono ad $A$ sono anche elementi di $B$ , quindi gli elementi che appartengono sia ad $A$ che a $B$ sono tutti e soli quelli di $A$ .

Proprietà distributiva e principio di inclusione-esclusione

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In questa sezione studiamo le proprietà che emergono dall’interazione tra unione e intersezione, riassunte nella seguente proposizione.

Proposizione 5. Siano $A,B,C$ insiemi; valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione: $A \cap (B \cup C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ;

Formula di inclusione-esclusione: se $A$ e $B$ sono insiemi finiti, allora la cardinalità della loro unione e della loro intersezione soddisfano la relazione
$|A \cup B| + |A \cap B|= |A| + |B|.$

$\quad$

Dimostrazione.

Si ha che $x \in A \cap (B \cup C)$ , se e solo se $x \in A$ e $x \in B \cup C$ , ossia se e solo se $x \in A$ e $x$ appartiene a $B$ oppure a $C$ . Questo si verifica se e solo se $x$ appartiene sia ad $A$ che a $B$ oppure $x$ appartiene sia a $A$ che a $C$ , ossia $x \in A \cap B$ oppure $x \in A \cap C$ , ovvero $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Sommando il numero di elementi di $A$ e di $B$ si ottiene il numero di elementi che appartengono all’unione, in cui però gli elementi che appartengono a entrambi sono stati contati due volte. Dunque il numero di elementi di $A \cup B$ si ottiene sottraendo a tale somma il numero di elementi di $A \cap B$ , ossia
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,$

cioè la formula che si voleva dimostrare.