Prodotto cartesiano

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Il prodotto cartesiano tra due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme costituito dalle coppie ordinate $(a,b)$ in cui $a \in A$ e $b \in B$ . Prescindendo da una definizione formale di coppia ordinata, possiamo appunto immaginarla come una sorta di lista ordinata di due elementi, che consente di distinguere tra il primo e il secondo: in altre parole la coppia $(a,b)$ è diversa dalla coppia $(b,a)$ . Ciò differenzia la coppia $(a,b)$ dall’insieme ${a,b}$ , che invece è indifferente all’ordine in cui i suoi elementi vengono elencati.

In questo articolo presentiamo appunto queste nozioni e ne riportiamo le proprietà principali.

Prodotto cartesiano

Definizione 1. Il prodotto cartesiano di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate di elementi di $A$ e $B$ e si indica come $A \times B$ . In formule

$A \times B = \{ (a,b): a \in A, b \in B \}.$

$\quad$

Il prodotto cartesiano può essere visto come un’operazione binaria tra insiemi: dati due insiemi $A$ e $B$ , possiamo formare un terzo insieme $C= A\times B$ . Segue subito dalla definizione che questa operazione non è commutativa, ovvero in generale $A \times B \neq B\times A$ se $A \neq B$ , in quanto la definizione distingue l’ordine in cui compaiono $A$ e $B$ .

Per esempio, se

$A=\{1,\,2,\,5\}, \qquad B=\{1,\,6\},$

allora l’insieme

$A \times B = \{ (1,1), (1,6), (2,1), (2,6),(5,1), (5,6) \}.$

E’ possibile rappresentare il prodotto tra due insiemi in un diagramma cartesiano; nel nostro esempio avremo

$\quad$

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Figura 1.

$\quad$

Chiaramente, per costruzione avremo che la cardinalità di $A \times B$ è uguale alla cardinalità di $A$ moltiplicata per la cardinalità di $B$ , in formule

$\#(A\times B)= \#A\cdot \#B.$

Analogamente si possono definire le $n$ -uple ordinate, $(a_1,\ldots,a_n)$ , che possiamo vedere come liste di $n$ elementi in cui conta l’ordine.
È naturale estendere l’operazione di prodotto cartesiano anche a più di due insiemi. Ovvero, dati $n$ insiemi $A_1, \dots A_n$ , possiamo formare il loro prodotto cartesiano $A_1\times \dots \times A_n$ definito come