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Differenza insiemistica e complementare

Insiemi

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Notazioni

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A\setminus B    Differenza insiemistica;
A^C    Complementare dell’insieme A;
\cup    Unione insiemistica;
\cap    Intersezione tra insiemi.


 
 

Introduzione

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La differenza insiemistica è l’operazione che consiste nel sottrarre gli elementi di un insieme B da quelli dell’insieme A, ossia costruire l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Questa operazione è profondamente legata alla nozione di complementare di un insieme A, ossia alla differenza tra un insieme universo U e l’insieme A.

In questo articolo presentiamo queste nozioni e ne forniamo le proprietà fondamentali, tra cui le famose Leggi di De Morgan, che legano il complementare alle operazioni di unione e intersezione.


 
 

Differenza e complementare

Definizione 1. La differenza tra l’insieme A e l’insieme B è l’insieme, indicato da B \setminus A, formato da tutti gli elementi di A che non appertengono ad B ovvero

\[A \setminus B = \{ x \in A \colon x\notin B\}.\]

\[\quad\]

Per esempio, se

\[A=\{1,\,2,\,5\} \qquad \text{ e } B=\{1,\,6\},\]

allora

\[B \setminus A = \{ 6 \}.\]

\[\quad\]

Figura 1.

\[\quad\]

Quando è chiaro l’insieme universo U in cui si sta lavorando, si dice complementare di A la differenza U \setminus A e si indica A^C. Di seguito una rappresentazione in termini di diagramma di Eulero-Venn:

\[\quad\]

Figura 2.

\[\quad\]

Valgono le seguenti proprietà dette formule di De Morgan.

Proposizione 2. Siano A,B insiemi. Valgono le seguenti proprietà.

\[\quad\]

  1. (A^{C})^C=A;

    2.  

  2. Leggi di De Morgan:

    \[\quad\]

    • (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C};

      •  

    • (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.

\[\quad\]

Dimostrazione.

  1. Si tratta di un’ovvia applicazione della definizione:

    \[ (A^C)^C= \{x \in U \colon x \notin A^C\} = \{x \in U \colon x \in A\} = A. \]

    2.  

  2. Dimostriamo la prima uguaglianza:

    \[ \begin{aligned} x \in (A \cap B)^C &\iff x \notin A \cap B \\ &\iff x \notin A \,\,\vee \,\, x \notin B x \in A^C \,\,\vee \,\, x \in B^C \\ &\iff x \in A^C \cup B^C. \end{aligned} \]

    In modo analogo si dimostra la seconda legge.