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Spazi metrici: un’introduzione

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Spazi metrici: un’introduzione

Benvenuti su “Qui Si Risolve”, dove si coniuga matematica e chiarezza. In questo articolo ci avviciniamo al mondo affascinante degli spazi metrici, affrontando le seguenti domande:

  • Come si può definire una distanza tra gli elementi di un insieme?
  • Quali sono le proprietà comuni a tutte le distanze?
  • Quali sono gli esempi fondamentali di tali spazi?

La risposta a tali domande risiede nella nozione di spazio metrico, fondamentale nell’Analisi Matematica e nella Topologia. Come ogni astrazione, è uno strumento potente in cui vivono nozioni importantissime come la continuità, la convergenza, e in grado di generalizzare idee semplici e comuni a molti oggetti di studio della Matematica.
Se desideri saperne di più, continua pure la lettura!

Definizione 1.  Sia A un insieme. Si dice metrica su A una funzione

    \begin{equation*} d:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}

che soddisfa le seguenti condizioni

1)Principio degli indiscernibili: :  d(x,y)=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y;

2) Simmetria: d(x,y)=d(y,x);

3)Disuguaglianza triangolare: d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) per ogni x,y,z\in A.

Un insieme A dotato di una metrica d è detto spazio metrico.

 

Segue dalla definizione che una metrica è positiva, ovvero

    \[d(x,y) \geq 0, \quad \forall x,y \in A.\]

Infatti, abbiamo

    \begin{equation*} 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \quad \Rightarrow \quad d(x,y)\geq 0. \end{equation*}

 

Esempio. Sia A=\mathbb{R} e definiamo d(x,y)=|x-y|. Si verifica facilmente che questa funzione è una metrica su \mathbb{R}:

\bullet |x-y|=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y;

\bullet |x-y|=|-(x-y)|=|y-x|;

La terza proprietà può essere riscritta come segue:

(1)   \begin{equation*} |x-z|\leq |x-y| + |y-z| \quad \forall x,y,z\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Essa è equivalente alla seguente versione della disuguaglianza triangolare:

(2)   \begin{equation*} |a+b|\leq |a|+|b| \quad \forall a,b \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Si dimostra facilmente l’equivalenza tra (1) e (2), ponendo a=x-y e b=y-z.
La (2) può essere dimostrata notando che, per definizione, |x|=\max\{ x,-x \}. Abbiamo dunque a \leq |a| e -a \leq |a|, per ogni a \in \mathbb{R}, da cui

\bullet a+b\leq |a|+|b|;
\bullet -(a+b)=-a-b \leq |a|+ |b|;

ovvero, |a+b|=\max\{ a+b,-(a+b) \}\leq |a|+|b|.

 

Definizione 2.  Dato uno spazio metrico A, un suo sottospazio B\subset A si dice denso in A se per ogni a\in A e per ogni intorno I(a) di a si ha (I(a)\setminus a)\cap B\neq\emptyset.

 
 

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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