Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Home » Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Cosa sono i numeri?

Questa semplice e affascinante domanda è stata oggetto di studio di numerosi filosofi e matematici nel corso della storia. Fornire una risposta matematica al problema è stata una sfida estremamente stimolante, e una delle prime risposte soddisfacenti è stata prodotta nell’arco temporale tra il 1881 e il 1889 ad opera di alcuni matematici, tra cui il matematico torinese Giuseppe Peano, che elaborò i famosi “assiomi di Peano”.

Il suo lavoro sposta il focus dall’essenza dei numeri alle loro proprietà pratiche. In altre parole, più che chiedersi cosa siano i numeri, è più utile chiedersi “cosa si fa con i numeri”. In parole semplici, Peano sostenne che l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali è descritto dalle seguenti proprietà:

Contiene lo $0$ ;
La funzione “successore”, che a ogni numero naturale ne associa un altro, detto appunto successore. I successori non devono mai ripetersi e $0$ non è il successore di alcun numero.
Il principio di induzione: se $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb{N}$ contenente lo $0$ e contenente il successore di ogni suo elemento, allora $A$ coincide con l’intero insieme $\mathbb{N}$ .

Nel seguente articolo descriviamo nel dettaglio queste proprietà, dette assiomi, e includiamo esempi di impiego nella matematica, discutendo l’importanza del principio di induzione come strumento dimostrativo e la sua equivalenza col principio del buon ordinamento, approdando infine alla divisione euclidea.
Tutto ciò rende la dispensa una risorsa preziosa per chiunque sia interessato alla teoria dei numeri e alla sua fondazione logica.

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Martina Moro

Revisore: Valerio Brunetti.

Gli assiomi di Peano

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

$\begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}$

E’ possibile definire l’insieme $\mathbb{N}$ a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna $(\mathbb{N},0,\sigma)$ dove $\mathbb{N}$ è un insieme, $0\in\mathbb{N}$ e $\sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:

$\mathbb{P}_1$ ) $\sigma$ è iniettiva;
$\mathbb{P}_2$ ) $0\notin\,$ Im( $\sigma$ ) ovvero $\nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0$ ;
$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U\subseteq\mathbb{N}$ è tale che

$0\in U$
$n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U$

allora $U=\mathbb{N}$ .

Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo $0$ come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale $1$ ). Una volta postulato l’esistenza del numero $0$ (o $1$ a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione $\sigma$ che, preso un qualunque numero naturale $n$ in input, restituisce il numero successivo $n+1$ in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

$\sigma(n)=n+1.$

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

$\mathbb{P}_1$ ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;
$\mathbb{P}_2$ ) Il numero $0$ non è il successivo di un numero naturale;
$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U$ è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene $0$ e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente $U=\mathbb{N}$ . In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di $\mathbb{N}$ che contengono sia $0$ , sia il successivo di ogni suo elemento.

Osservazione 1.

I primi due postulati possono essere interpretati come

$\mathbb{P}_1$ ) $n+1=m+1$ se e solo se $n=m$ ;

$\mathbb{P}_2$ ) L’equazione $n+1=0$ non ha soluzione in $\mathbb{N}$ .

Il terzo postulato, detto Principio di induzione è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà $P(n)$ per ogni numero naturale. Sia

$\begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\}, \end{equation*}$

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi

Menu

Chiudi

Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Autori e revisori

Leggi...

Gli assiomi di Peano

Osservazione 1.

Questa parte è riservata agli abbonati

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi

Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Autori e revisori

Leggi...

Gli assiomi di Peano

Osservazione 1.

Questa parte è riservata agli abbonati 🔒

Questa parte è riservata agli abbonati