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Il Binomio di Newton

Insiemi numerici N, Z, Q, R, Principio di induzione

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Questo articolo è dedicato al binomio di Newton, una formula fondamentale che ci aiuta a espandere e semplificare espressioni algebriche.
Il teorema, che prende il nome dal matematico britannico Isaac Newton, risponde alla domanda: esiste una formula per espandere l’espressione (x + y)^n in modo efficiente? Vedremo che, attraverso l’uso dei coefficienti binomiali, è possibile scrivere questa potenza come somma esplicita di monomi del tipo x^k y^{n-k}, in accordo con le note espressioni

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \qquad \text{e} \qquad (x+y)^3=x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\]

Il binomio di  Newton risulta quindi una generalizzazione di tali uguaglianze a esponenti maggiori.

Ci muoveremo passo passo verso la scoperta e la giustificazione di questa formula fondamentale, un indispensabile strumento di calcolo a tutti i livelli di studio.

 

Definizione. Siano n e k due numeri naturali tali che 0 \leqslant k \leqslant n. Si definisce coefficiente binomiale:

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!},\]

e si legge “coefficiente binomiale n su k” oppure, quando evidente dal contesto, semplicemente “n su k”.

Si noti che, per ogni n \geqslant 0:

\[\binom{n}{0} = \frac{n!}{n!\,0!} = 1; \quad \binom{n}{n} = \frac{n!}{(n-n)!\,n!} = 1.\]

 

Binomio di Newton. È possibile esprimere come segue la potenza n-esima di un binomio qualsiasi. Siano a,b \in \mathbb{R} e n intero non negativo, allora:

(1) \begin{equation*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k. \end{equation*}

 
Convenzione. Si noti che nella formula (1) compaiono dei termini elevati all’esponente 0 (capita per k = 0 e k = n). Questo porta ad un’ambiguità nel caso in cui a oppure b fossero nulli. Nel trattare il binomio di Newton, ed in generale nello studio dei polinomi e delle serie, risulta utile stabilire la seguente convenzione [1]: 0^0 = 1. Così facendo, la formula (1) ha validità per ogni a, b \in \mathbb{R}, inclusi i casi (banali) in cui a = 0 oppure b = 0. Per esempio, se b = 0 e n = 2:

\[(a+0)^2 = \binom{2}{0}a^20^0 + \binom{2}{1}a^10^1 + \binom{2}{2}a^00^2 = 1\cdot a^2\cdot1 + 2\cdot a\cdot0 + 1\cdot1\cdot0 = a^2,\]

che è naturalmente il risultato atteso.

Lemma. Premettiamo una formula molto importante che lega i coefficienti binomiali. Per 1\leq k\leq n, vale la seguente relazione di ricorrenza [2]:

(2) \begin{equation*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}. \end{equation*}

Dimostrazione del lemma.

Applicando la definizione di coefficiente binomiale, questo equivale a verificare che

\begin{equation*} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{equation*}

Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni k!=k(k-1)! e (n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!. Otteniamo:

\[\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n-\cancel{k}+1+\cancel{k})n!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}.\]

Affrontiamo a questo punto la dimostrazione della formula (1) del binomio di Newton.

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