Valore assoluto

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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Il valore assoluto è la funzione che associa sé stesso a ciascun numero reale positivo e il suo opposto a ogni numero reale negativo. Intuitivamente, ciò corrisponde all’associare a ciascun numero reale la propria “parte numerica”, rimuovendo eventuali segni negativi.

Questa funzione riveste notevole importanza nella Matematica, in quanto consente anche di definire una nozione di distanza sull’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

In questo articolo diamo la definizione di valore assoluto, ne osserviamo le principali proprietà e caratteristiche e spieghiamo come definire una distanza su $\mathbb{R}$ .

Funzione valore assoluto

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Definizione 1 (valore assoluto). Si definisce valore assoluto o modulo la funzione $|\cdot| \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} |x|\coloneqq \operatorname{sgn}(x)x= \begin{cases} x, &{\text{se }}x\ge 0;\\ -x, & {\text{se }} x<0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Segue subito dalla definizione che la funzione valore assoluto è sempre non negativa. Il grafico di $|x|$ è mostrato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: grafico della funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=|x|$ .

$\quad$

Osservazione 2. La funzione valore assoluto poteva essere definita in maniera equivalente (e forse più elegante) nel seguente modo.

$|x| \coloneqq \max\left\{ x,-x \right\}\qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Si vede facilmente che le due definizioni coincidono.

Proprietà della funzione valore assoluto

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Elenchiamo alcune proprietà fondamentali della funzione modulo, che si possono dedurre dalla definizione 1 e dal grafico in figura 1.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione valore assoluto è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.

(Simmetrie.) La funzione valore assoluto è una funzione pari, infatti:
(2) $\begin{equation*} |-x|= \begin{cases} -x , &{\text{se }}-x\ge 0;\\ x, & {\text{se }} -x<0 \end{cases} = \begin{cases} -x , &{\text{se }}x\leq 0;\\ x, & {\text{se }} x>0 \end{cases} \,\,\, = |x| \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione valore assoluto è simmetrico rispetto all’asse $y$ .

(Periodicità.) La funzione valore assoluto non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione valore assoluto ha un’unica intersezione con l’asse $x$ nel punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione valore assoluto è sempre non negativa:
$|x|\geq0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione valore assoluto è una funzione crescente in $[0,+\infty)$ e decrescente in $(-\infty,0]$ .

(Immagine.) L’immagine tramite la funzione valore assoluto è
(3) $\begin{equation*} \operatorname{Im} |\cdot| = [0,+\infty). \end{equation*}$

Infatti, l’immagine di un numero non negativo è pari a sé stesso, mentre l’immagine tramite la funzione valore assoluto di ogni numero negativo è pari al suo opposto. Da ciò segue che l’immagine è contenuta in $[0,+\infty)$ . Infine, poiché $|x|=x$ per ogni $x \geq 0$ , si ha anche l’inclusione opposta. In particolare, la funzione valore assoluto è limitata inferiormente e illimitata superiormente, e si ha

(4) $\begin{equation*} \inf_{x \in \mathbb{R}}|x| = \min_{x \in \mathbb{R}}|x| = |0| = 0, \qquad \sup_{x \in \mathbb{R}}|x|= +\infty. \end{equation*}$

(Invertibilità.) La funzione valore assoluto non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $|1|=|-1|$ .

Notiamo che il grafico della funzione valore assoluto è stato ottenuto a partire dalla bisettrice del primo e terzo quadrante, i.e il grafico della funzione identità $\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}$ , operando una riflessione rispetto l’asse $x$ della parte negativa di $f$ . Questa proprietà rimane vera precomponendo la funzione valore assoluto definita da (1) con una funzione $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qualunque. In questo modo, otteniamo la definizione di valore assoluto di una funzione.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. Chiamiamo funzione valore assoluto di $\bm{f}$ o modulo di $\bm{f}$ , indicata con $|f|$ , la funzione data dalla composizione di (1) con $f$ , definita da

(5) $\begin{equation*} |f|(x)=|f(x)|\qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Dimostrare che il grafico di $|f|$ si ottiene dal grafico $\Gamma_f$ di $f$ riflettendo la parte negativa di $f$ rispetto all’asse delle ascisse.

$\quad$

Un esempio è dato dalla seguente figura.

$\quad$

Figura 2: grafico della funzione $|f|$ (in blu, in basso), cf. (5), ottenuto da quello di $f$ (in rosso, in alto) ribaltando la parte negativa rispetto l’asse $x$ .

$\quad$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $g:E \to\mathbb{R}$ la funzione data dalla composizione di $f$ con (1), definita da

(6) $\begin{equation*} g(x)=f(|x|)\qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Dimostrare che il grafico di $g$ si ottiene dal grafico $\Gamma_f$ di $f$ riflettendo la porzione del grafico di $f$ contenuta nel primo e quarto quadrante rispetto all’asse delle ordinate.

$\quad$

Un esempio è dato dalla seguente figura.

$\quad$

Figura 3: grafico dela funzione $g$ (in blu, in basso), cf. (6), ottenuto da quello di $f$ (in rosso, in alto) ribaltando la parte di grafico di $f$ a destra dell’asse $y$ rispetto l’asse $y$ .

$\quad$

La funzione valore assoluto può essere utilizzata per misurare la distanza tra due numeri reali $a,b$ con $a<b$ , intesa come la lunghezza dell’intervallo $[a,b]$ .