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Immagine di una funzione

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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L’immagine di una funzione f è il sottoinsieme del codominio costituito dalle immagini tramite f degli elementi del dominio. Informalmente, esso è l’insieme di tutti i valori “in output” che assume la funzione. Tale concetto può essere localizzato anche a un sottoinsieme proprio del dominio; così facendo, la funzione associa a ogni sottoinsieme del dominio la sua immagine.

Questo concetto, fondamentale nello studio delle funzioni, è l’argomento di questo articolo; ne forniamo la definizione rigorosa, illustrata con grafici ed esempi, e ne presentiamo le proprietà principali.


 
 

Immagine di una funzione ed esempi

Un concetto di fondamentale importanza è quello di immagine di una funzione, ovvero l’insieme dei valori restituiti da f al variare degli elementi nel dominio.

Definizione 1. (immagine). Sia f:E\to F una funzione e sia A \subseteq E. L’immagine di A è il sottoinsieme f(A) di F dato da

\[ f(A)\coloneqq \{y\in F: \exists \,x\in A: y=f(x) \}= \{ f(x): x \in A \}\subseteq F. \]

L’insieme f(E) è detto l’immagine di f, e si denota anche con \operatorname{Im}(f).

\[\quad\]

Esempio 2. Sia f \colon [0,3] \to \mathbb{R} definita da

(1) \begin{equation*} f(x)= \frac{1}{2}x + 1 \qquad \forall x \in [0,3]. \end{equation*}

Vogliamo determinare l’immagine di f, cioè f([0,3]). Occorre quindi trovare i valori y \in \mathbb{R} che sono immagine di elementi x \in [0,3].

La figura 1 suggerisce che, se x_0 \in [0,3], allora f(x_0) \in [1,\frac{5}{2}]; viceversa, appare che ogni y_0 \in [1,\frac{5}{2}] è immagine di qualche x_0 \in [0,3].
Occorre però dimostrare rigorosamente questa intuizione.

Supponiamo che x_0 \in [0,3]. Poiché moltiplicare per 1/2 e aggiungere 1 non modifica le relazioni di ordine, si ha

(2) \begin{equation*} \frac{1}{2}\cdot 0 + 1 \leq \frac{1}{2}\cdot x_0 + 1 \leq \frac{1}{2}\cdot 3 + 1 \qquad \Rightarrow \qquad 1 \leq f(x_0) \leq \frac{5}{2}. \end{equation*}

Se x_0 \in [0,3], si ha quindi che f(x_0) \in [1,\frac{5}{2}]; ciò vuol dire che l’insieme delle immagini di elementi dell’intervallo [0,3] è contenuto nel sottoinsieme [1,\frac{5}{2}] del codominio, cioè, in formule

(3) \begin{equation*} f\big([0,3]\big) \subseteq \left[1,\frac{5}{2} \right]. \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 1: rappresentazione dell’immagine (in rosso) dell’insieme [0,3] tramite la funzione f definita da (1).

\[\quad\]

Per provare che la precedente relazione è in realtà un’uguaglianza, occorre dimostrare che, dato y_0 \in [1,\frac{5}{2}], esiste almeno un x_0 \in [0,3] tale che f(x_0)=y_0. Data l’espressione di f, occorre cioè verificare che l’equazione

(4) \begin{equation*} y_0 = \frac{1}{2}x + 1 \end{equation*}

possiede qualche soluzione x_0 \in [0,3]. Risolvendo rispetto a x, si vede che l’unica soluzione è data da

(5) \begin{equation*} x_0 = 2(y_0 -1). \end{equation*}

Dato che 1\leq y_0 \leq \frac{5}{2} e poiché sottrarre 1 e moltiplicare per 2 non modificano le relazioni di ordine tra numeri reali, si ha

(6) \begin{equation*} 2(1-1) \leq 2(y_0 -1) \leq 2\left(\frac{5}{2}-1 \right) \qquad \Rightarrow \qquad 0 \leq x_0 \leq 3. \end{equation*}

Ciò mostra che esiste x_0 \in [0,3] tale che f(x_0)=y_0 e, poiché y_0 è arbitrario, otteniamo

(7) \begin{equation*} \left[1,\frac{5}{2} \right] \subseteq f\big([0,3]\big). \end{equation*}

Da (3) e (7) segue che f([0,3]) = [1, \frac{5}{2}]. L’insieme f([0,3]) è rappresentato in rosso sull’asse delle y nella figura 1.

Esempio 3. Consideriamo la funzionef \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2 \in \mathbb{R}, il cui grafico è stato rappresentato in figura 2.

\[\quad\]

Figura 2: grafico della funzione f \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2 \in \mathbb{R}.

\[\quad\]

Per determinare l’immagine, distinguiamo 3 situazioni possibili, delineate dagli esempi seguenti:

\[\quad\]

  • Il valore y=4 è immagine di 2 elementi del dominio: x_1=-2 e x_2=2; infatti

    (8) \begin{gather*} f(x_1)= x_1^2 = (-2)^2=4, \qquad f(x_2)= x_2^2 = 2^2=4. \end{gather*}

    Si ha quindi x_1 \neq x_2, ma f(x_1)=f(x_2).
    Si può dimostrare ogni y>0 è immagine di due elementi distinti x_1,x_2.

    •  

  • Il valore y=0 è immagine di un solo elemento del dominio: x_3=0; infatti l’unico numero reale il cui quadrato è pari a 0 è 0 stesso. Ciò vuol dire che f(0)=0.

    •  

  • Il valore y=-1 non è immagine di alcun elemento del dominio: infatti, se x \in \mathbb{R}, si ha x^2 \geq 0; in altre parole, il quadrato di nessun numero reale è negativo. Ciò è visualizzato nella figura 2 mostrando che nessun punto di ordinata y=-1 appartiene al grafico; infatti, la retta tratteggiata orizzontale dei punti aventi ordinata y=-1 non interseca il grafico di f.

    Neanche tale situazione contraddice la definizione di funzione, in quanto essa non prescrive che ogni elemento del codominio sia immagine di qualche elemento del dominio.
    Si può dimostrare nessun y<0 è immagine di un elemento del dominio.

    Riassumendo, abbiamo che f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_0^+.

Esempio 4. Consideriamo la funzione a\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} definita da

(9) \begin{equation*} a(n)\coloneqq 2n \qquad\forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Notiamo che in questo caso il dominio di f è l’insieme dei numeri naturali \mathbb{N} mentre scegliamo come codominio l’insieme dei numeri reali. L’immagine della funzione è l’insieme dei numeri naturali pari

\[ {\rm Im }(a)=2\mathbb{N}\coloneqq \left\{ 2n: n \in \mathbb{N} \right\}=\{2, 4, 6, \dots\}, \]

in quanto ogni numero pari m si può scrivere come m=2 \left( \dfrac{m}{2} \right), con \dfrac{m}{2} \in \mathbb{N}.

\[\quad\]

Figura 3: Grafico in scala 4:1 della successione a definita da (9).

\[\quad\]

Proposizione 5. (unione e intersezione di immagini). Sia f \colon E \to F una funzione e siano A,B \subseteq E. Allora, vale

\[\quad\]

  1. (10) \begin{equation*} f(A\cup B)= f(A)\cup f(B); \end{equation*}

    2.  

  2. (11) \begin{equation*} f(A \cap B) \subseteq f(A)\cap f(B). \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione.

  • Sia x \in A\cup B. Se x \in A, allora f(x)\in f(A), mentre se x\in B, allora f(x)\in f(B). Abbiamo così mostrato che f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B). Per l’inclusione opposta, si ragiona analogamente.

    •  

  • Sia x \in A \cap B. Allora, poiché x\in A, si ha f(x)\in f(A), e poiché x \in B, si ha f(x)\in f(B). Abbiamo così mostrato che f(A \cap B) \subseteq f(A)\cap f(B). L’inclusione opposta in questo caso non vale: ad esempio, A \cap B=\emptyset non implica f(A)\cap f(B)=\emptyset.