Grafico di una funzione

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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Il grafico di una funzione reale $f$ di variabile reale è l’insieme dei punti $(x,y)$ del piano cartesiano in cui $y=f(x)$ . Esso è costituito, cioè, dai punti di coordinate $(x,f(x))$ al variare di $x$ nel dominio di $f$ e permette di visualizzare quindi l’andamento della funzione.

Questa idea fornisce anche un modo operativo per rappresentare il grafico, si considera un punto $x$ nel dominio della funzione $f$ , si calcola $f(x)$ e si evidenzia nel piano cartesiano il punto $(x,f(x))$ . Ripetendo l’operazione cambiando il punto $x$ scelto, si ottiene una “traccia” del grafico, da cui è possibile risalire a un’approssimazione del grafico reale “unendo i puntini”, un po’ come si fa nel famoso gioco di enigmistica.

In questo articolo, dopo aver presentato la nozione di grafico in maniera rigorosa, spieghiamo come ottenerne la rappresentazione, illustrando il metodo in casi semplici e utili.

Grafico di una funzione reale di variabile reale

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Utilizzare una tabella per rappresentare i valori di una funzione può restituire una prima idea di come è fatto il suo grafico. Le funzioni reali di variabile reale sono particolarmente facili da visualizzare, in quanto possiamo rappresentare il loro grafico in un piano cartesiano. Ricordiamo la seguente definizione.

Definizione 1. (grafico di una funzione reale di variabile reale). Siano $E,F\subseteq \mathbb{R}$ . Il grafico di una funzione $f:E\to F$ , è l’insieme dei punti del piano dato da

$\Gamma_f\coloneqq \{(x,y)\in E\times F\: : y=f(x)\}\subseteq \mathbb{R}^2.$

F\: : y=f(x)\}\subseteq \mathbb{R}^2. \]

$\quad$

Vediamo ora alcuni esempi espliciti di funzione, e rappresentiamone il grafico.

Esempio 2 (funzione affine). Consideriamo l’espressione

$f(x)=1+x.$

L’insieme di definizione di $f$ è $E=\mathbb{R}$ , in quanto è sempre definita l’operazione di somma tra due numeri reali. Si ha

$f(x)>0 \iff 1+x >0 \iff x>-1.$

Inoltre, $f(x)=0$ se e solo se $x=-1$ . Vediamo con una tabella alcuni valori che restituisce $f$ al variare di $x$ .

$\quad$

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= 1+x$ \\ \hline -3 & -2 \\ \hline -2 & -1 \\ \hline -1 & 0 \\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 \\ \hline 3 & 4 \\ \hline \end{tabular}$

$\quad$

È chiaro che man mano che prendiamo valori sempre maggiori della $x$ , la funzione restituisce valori sempre maggiori, in maniera “lineare”. Possiamo quindi ipotizzare che l’immagine della funzione è costituito dall’insieme $\mathbb{R}$ .

$\quad$

Figura 1: grafico della funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;f(x)=1+x$ .

$\quad$

Esempio 3 (funzione quadratica). Consideriamo l’espressione

$f(x)=x^2.$

L’insieme di definizione di $f$ è $E=\mathbb{R}$ , in quanto è sempre definita l’operazione di prodotto tra due numeri reali. Si ha

$f(x)>0 \iff x^2 >0 \iff x\neq 0.$

Inoltre, $f(x)=0$ se e solo se $x=0$ . Vediamo con una tabella alcuni valori che restituisce $f$ al variare di $x$ .

$\quad$

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= x^2$ \\ \hline -3 & 9 \\ \hline -2 & 4 \\ \hline -1 & 1 \\ \hline 0 & 0\\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline \end{tabular}$

$\quad$

Osserviamo che $f(-x)=f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , quindi per studiare la funzione basta considerare i valori di $x$ non negativi, e “riflettere” le informazioni ottenute per $x$ negativo.

È chiaro che man mano che prendiamo valori positivi sempre maggiori della $x$ , la funzione restituisce valori positivi sempre maggiori, in maniera “quadratica”. Possiamo quindi ipotizzare che l’immagine della funzione è costituito dall’insieme $\mathbb{R}_0^+$ di tutti i numeri reali non negativi.

$\quad$

Figura 2: grafico della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f(x)=x^2$ .

$\quad$

Esempio 3. (Funzione reciproca). Consideriamo l’espressione

$f(x)=\frac 1x.$

L’insieme di definizione di $f$ è $E=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ . Chiaramente,

$f(x)>0 \iff x>0$

Inoltre, $f(x)\neq 0$ per ogni $x\in E$ . Vediamo con una tabella alcuni valori che restituisce $f$ al variare di $x$ .

$\quad$

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= 1/x$ \\ \hline -100 & -0,01 \\ \hline -50 & -0,02 \\ \hline -25 & -0,04\\ \hline -0,5 & -2 \\ \hline 0,5 & 2 \\ \hline 25 & 0,04 \\ \hline 50 & 0,02 \\ \hline 100 & 0,01 \\ \hline \end{tabular}$

$\quad$

Man mano che prendiamo valori negativi della $x$ sempre più vicini a zero, la funzione restituisce valori sempre più piccoli. Simmetricamente, prendendo valori positivi della $x$ sempre più vicini a zero, $f$ restituisce un valore sempre più grande. Analogamente, man mano che la variabile $x>$ aumenta (risp. $x<0$ diminuisce), $f(x)$ decresce e si avvicina a zero positivamente (risp. negativamente). Possiamo quindi ipotizzare che l’immagine è l’insieme $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .

$\quad$

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Figura 3: grafico della funzione $f:\mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R},\;f(x)=\dfrac 1x$ .

$\quad$

Esempio 5 (grafici in forma implicita). Se $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione, allora la relazione $y=f(x)$ può essere scritta anche come un’equazione implicita del tipo

(1) $\begin{equation*} F(x,y)=0, \end{equation*}$

dove si pone $F(x,y)=y-f(x)$ .

In particolare, questo mostra che il grafico di una funzione è una particolare curva piana¹. Infatti, esempi di curve piane si ottengono come luogo di zeri di una funzione di due variabili, ovvero

(2) $\begin{equation*} \mathcal{C}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : F(x,y)=0\}. \end{equation*}$

Notiamo che non è vero il viceversa, ovvero una generica curva, i.e. descritta da (2), non esprime sempre il grafico di una funzione. Si pensi ad esempio all’equazione

(3) $\begin{equation*} x^2+y^2=1. \end{equation*}$

L’equazione di cui sopra descrive il luogo geometrico di tutti i punti che distano $1$ dall’origine $O$ . Ovvero, l’equazione (3) descrive una circonferenza data da

(4) $\begin{equation*} \mathcal{C}\coloneqq \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2-1=0 \}. \end{equation*}$

Ma questa chiaramente non è il grafico di una funzione, poiché per ogni punto $x_0\in (-1,1)$ corrispondono due soluzioni distinte, $y_+, y_-$ dell’equazione $x_0^2+y^2=1$ , cf. figura 4, e ciò contraddice la definizione di funzione. Infatti, abbiamo

(5) $\begin{equation*} x_0^2+y^2=1 \quad \iff \quad y=\pm \sqrt{1-x_0^2}. \end{equation*}$

È possibile dunque esprimere la curva $\mathcal{C}$ definita in (4), come l’unione di due grafici di funzione. Infatti, scegliendo il segno $+$ o $-$ in (5), si ottengono due funzioni $f_+ \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ e $f_- \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ , definite da

(6) $\begin{equation*} f_+(x)=+\sqrt{1-x^2}, \quad f_-(x)=-\sqrt{1-x^2} \qquad \forall x \in [-1,1]. \end{equation*}$

Le funzioni $f_+$ e $f_-$ sono ben definite in quanto il loro valore è univocamente determinato per ogni $x \in [-1,1]$ ; inoltre è facile verificare che $\mathcal{C} = (\Gamma_{f_+}) \cup (\Gamma_{f_-}$ ).

Un criterio visivo per determinare se una curva nel piano $Oxy$ costituisce il grafico di una funzione è il seguente: se ogni retta parallela all’asse $y$ interseca la curva in al più un punto, allora essa è il grafico di una funzione.

$\quad$

Figura 4: luogo geometrico dei punti descritto dall’equazione $x^2+y^2=1$ (circonferenza unitaria). Esso non è il grafico di una funzione, in quanto un $x_0 \in (-1,1)$ determina due diverse immagini $y_{\pm}$ .

In matematica, una curva piana è una funzione $\gamma: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ , mentre l’immagine $\gamma(I)\subset \mathbb{R}^2$ è detto sostegno della curva. spesso, però, si abusa di notazione, chiamando curva piana il sostegno di una curva. ↩

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