Funzioni: definizioni ed esempi

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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La nozione di funzione è forse la più importante di tutta la Matematica: essa consente di associare, a ciascun elemento di un insieme, un elemento di un altro insieme, traducendo così l’idea di prendere in input dei dati e fornirne altri in output.

In questo articolo spieghiamo la definizione formale di funzione, illustrandola con esempi e figure.

La definizione di funzione

Definizione 1. Dati due insiemi $E,F$ , una funzione $f:E\to F$ è una relazione tra gli insiemi $E$ e $F$ , tale che ad ogni elemento $x\in E$ si associa uno e un solo elemento $y\coloneqq f(x)\in F$ , detto immagine di $x$ tramite $f$ .

Formalmente, una funzione $f:E\to F$ si definisce come un sottoinsieme $f \subset E \times F$ , tale che

(1) $\begin{equation*} \forall \, x \in E \quad \exists \,! y \in F \; \mbox{ tale che } (x,y) \in f. \end{equation*}$

Tramite la proprietà (1), dato $x \in E$ , l’unico elemento $y\in F$ tale che $(x,y)\in f$ è l’immagine di $x$ tramite $f$ , i.e. $y=f(x)$ .

L’insieme $E$ è detto dominio di $f$ e si denota a volte con ${\rm Dom}(f)$ , mentre l’insieme $F$ è detto codominio di $f$ .

Se $f$ è una funzione da $E$ a $F$ , si scrive

(2) $\begin{equation*} f \colon E\to F, \qquad \text{oppure} \qquad f \colon x \in E \mapsto f(x) \in F, \end{equation*}$

se si vuole indicare anche come $f$ agisce sugli elementi del dominio.

Una funzione $f: E \to F$ è dunque una relazione tra gli insiemi $E$ e $F$ , che pensiamo come una “freccia” tra i due insiemi: da ogni elemento dell’insieme di partenza $E$ parte una e una sola freccia verso un elemento dell’insieme di arrivo $F$ , come rappresentato nella figura 1 (a destra). Vogliamo sottolineare che la definizione formale di una funzione $f: E \to F$ richiede che essa sia un sottoinsieme di $E \times F$ con la proprietà (1). In quanto sottoinsieme, essa coincide con l’insieme comunemente detto il “grafico” della funzione $f$ .

Definizione 2 (grafico di una funzione). Data una funzione $f:E\to F$ , il grafico di $f$ è l’insieme dato da

(3) $\begin{equation*} \Gamma_f\coloneqq \{ (x,f(x)): x \in E \} \subset E \times F, \end{equation*}$

$\quad$

Sebbene il modo più rigoroso per definire una funzione sia quello di identificarla con il suo grafico (3), si utilizza una notazione specifica per il grafico, e si pensa una funzione $f:E \to F$ come una “ricetta” per associare ad un elemento di $E$ un elemento di $F$ , piuttosto che come un insieme.

Nella figura seguente (figura 1), la relazione (a sinistra) tra gli insiemi $E$ ed $F$ definita dalle frecce nere non è una funzione, poiché ad un elemento di $E$ è associato più di un elemento di $F$ (nell’insieme $E$ c’è un elemento da cui parte più di una freccia, contrariamente alla definizione di funzione), mentre la relazione tra gli insiemi $E'$ ed $F'$ definita dalle frecce nere (a destra) è una funzione.

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Figura 1: Esempio di relazione tra insiemi che è una funzione (destra) e che non è una funzione (sinistra).

Esempi di funzioni

In questa sezione presentiamo una serie di esempi di funzioni.

Esempio 3 (Funzioni lineari). Sia $f \colon [1,+\infty) \to [0, + \infty)$ definita da

(4) $\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{2}x \qquad \forall x \in [1,+\infty). \end{equation*}$

Verifichiamo che quella data è una funzione. A ogni $x \in [1,+\infty)$ si può associare il valore $\frac{1}{2}x$ , e il risultato di tale operazione è unico. Inoltre, poiché moltiplicare per un numero positivo non cambia la relazione d’ordine, abbiamo che

$x \geq 1 \quad \iff \quad \frac 1 2 x \geq \frac 1 2 \geq 0.$

Per ogni elemento $x$ del dominio risulta quindi definita univocamente la sua immagine $f(x)$ , pertanto $f$ è una funzione avente dominio ${\rm Dom} (f) = [1,+\infty)$ e codominio $[0, + \infty)$ .

Osserviamo che, mentre l’elemento $y={2}$ del codominio è immagine tramite $f$ del numero $x = 4$ , l’elemento $\dfrac1 4$ del codominio non è immagine di alcun elemento $x \in {\rm Dom}( f)$ . Infatti, si ha

(5) $\begin{equation*} \frac{1}{2} x =\frac 1 4 \quad \iff \quad x =\frac 1 2. \end{equation*}$

Ciò ovviamente non contraddice la definizione 1, cf. figura 1.

Per avere un’idea di come è fatto il grafico di $f$ come un sottoinsieme del piano $\mathbb{R}^2$ , cf. 2, scegliamo qualche valore della variabile indipendente $x$ e determiniamo il corrispondente valore della variabile dipendente $y$ , riassumendo i nostri calcoli in una tabella:

$\quad$

(6) $\begin{equation*} \begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \frac 1 2 x$\\ \hline 1 & $ \frac 1 2$ \\ \hline 2 & 1 \\ \hline 3 & $\frac{3}{2}$ \\ \hline 4 & 2\\ \hline 5 & $\frac 52$ \\ \hline \end{tabular} \end{equation*}$

$\quad$

Il grafico che ne risulta è rappresentato nella figura 2. In essa possiamo notare i seguenti elementi:

$\quad$

La parte marcata in grigio corrisponde al fatto che abbiamo escluso dal dominio l’intervallo $(-\infty, 1)$ e dal codominio l’intervallo $(-\infty, 0)$ ;

In blu abbiamo rapprensentato il grafico $\Gamma_f$ di $f$ , cioè i punti del piano $(x,f(x))$ tali che l’ascissa $x$ sia un elemento del dominio e l’ordinata corrisponda al valore $f(x)$ ; notiamo che esso assume la forma di una retta: infatti, la relazione che definisce $f$ è una cosiddetta relazione lineare, cioè in cui la variabile $y$ è data da un multiplo della variabile $x$ .

Abbiamo indicato i punti appartenenti a $\Gamma_ f$ calcolati nella tabella (6). Ad esempio, il punto $(4,2)$ è sul grafico, poiché
(7) $\begin{equation*} 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = f \left( 4 \right). \end{equation*}$

In altre parole, il numero $y_1=2\in [0,+\infty)$ è immagine di $x_1=4 \in [1,+\infty)$ ;
abbiamo inoltre rappresentato con delle linee tratteggiate le sue proiezioni del punto $(2,1)$ sugli assi.

Sull’asse $y$ si trova il punto di ordinata $y_2=\frac{1}{4}$ , che si vede non essere immagine di alcun elemento del dominio $[1,+\infty)$ .

$\quad$

Figura 2: Grafico della funzione $f$ definita da (4).

Esempio 4. Consideriamo la funzione $f \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2\coloneqq x\cdot x \in \mathbb{R}$ . Verifichiamo che essa è effettivamente una funzione avente dominio ${\rm Dom}( f )= \mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$ . Infatti, ogni numero reale $x$ si può elevare al quadrato e il risultato di tale operazione è univocamente definito. Ciò vuol dire che per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste un unico $y \in \mathbb{R}$ tale che $y=x^2$ , cioè $f$ è una funzione. Come già fatto per l’esempio 2, per avere un’idea di come è fatto ill grafico di $f$ come un sottoinsieme del piano $\mathbb{R}^2$ , cf. 1.2, scegliamo qualche valore della variabile indipendente $x$ e determiniamo il corrispondente valore della variabile dipendente $y$ , riassumendo i nostri calcoli in una tabella:

(8) $\begin{equation*} \begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= x^2$ \\ \hline -2 & 4 \\ \hline -1 & 1 \\ \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1\\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{tabular} \end{equation*}$

Possiamo visualizzare il grafico il grafico che ne risulta nella figura 3. In essa possiamo notare i seguenti elementi:

$\quad$

In blu abbiamo rapprensentato il grafico $\Gamma_f$ di $f$ , cioè i punti del piano $(x,f(x))$ , tali che l’ascissa $x$ sia un elemento del dominio e l’ordinata corrisponda al valore $f(x)$ ; la forma che assume è detta parabola e la relazione che definisce $f$ è una cosiddetta relazione quadratica, cioè in cui la variabile $y$ è data dal prodotto della variabile $x$ con sè stessa.

Abbiamo indicato i punti appartenenti a $\Gamma_ f$ calcolati nella tabella (8). Ad esempio, i punti $(2,4)$ e $(-2,4 )$ sono sul grafico, poiché
(9) $\begin{equation*} 4 = 2^2 = f \left( 2 \right) \quad \mbox{e} \quad 4 = (-2)^2 = f \left( -2 \right). \end{equation*}$

In altre parole, il numero $y_1=4\in [0,+\infty)$ è immagine sia di $x_1=2 \in \mathbb{R}$ , sia di $x_2=-2 \in \mathbb{R}$ .
Ciò ovviamente non contraddice la definizione 1.1, cf. figura 1.
Abbiamo inoltre rappresentato con delle linee tratteggiate le sue proiezioni dei suddetti punti sugli assi.

$\quad$

Figura 3: grafico della funzione $f \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2\coloneqq x\cdot x \in \mathbb{R}$ .

Esempio 5 (Successioni). Sia $a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(10) $\begin{equation*} a(n) \coloneqq \dfrac{1}{n} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Essa associa cioè a ogni numero naturale positivo $n$ il suo reciproco $1/n$ . Poiché tale operazione è sempre possibile (dato che $n >0)$ e il suo risultato è univocamente determinato da $n$ , $a$ costituisce effettivamente una funzione con dominio ${\rm Dom} (a) = \mathbb{N}$ e codominio $\mathbb{R}$ .

In generale, una funzione $a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ è detta una successione di numeri reali, in quanto si può pensare di ordinare in una sequenza infinita le immagini di $a$ in base all’elemento del dominio che le determinano:

$\quad$

$\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & n & \cdots \\[6pt] \downarrow a & \downarrow a & & \downarrow a & \\[6pt] a(1)=1 & a(2)=\frac{1}{2} & \cdots & a(n)=\frac{1}{n} & \cdots \end{array}$

$\quad$

Inoltre, l’immagine $a(n)$ di un numero naturale $n$ viene spesso indicata con $a_n$ . Anche il grafico di una successione può essere rappresentato come sottoinsieme del piano cartesiano $\mathbb{R}^2$ e per la successione in esame ciò viene effettuato nella figura 4. Si vede che in questo caso il grafico è costituito da punti “isolati”, e ciò si spiega col fatto che il dominio ${\rm Dom}(a) = \mathbb{N}$ , che, visto come sottoinsieme di $\mathbb{R}$ , è costituito da punti “isolati” sull’asse $x$ .