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Funzioni tangente e cotangente

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni tangente e cotangente sono funzioni goniometriche, che associano a un certo angolo, o meglio a un certo arco di circonferenza di centro l’origine e raggio 1, delle quantità correlate alle rette tangenti alla circonferenza. Più precisamente, la tangente di un arco t rappresentato sulla circonferenza goniometrica è l’ordinata dell’intersezione tra la semiretta mobile che definisce l’angolo e la retta tangente alla circonferenza passante per il punto (1,0), qualora tale intersezione esista. Analogamente, la cotangente di t è l’ascissa dell’intersezione, in caso essa esista, della semiretta mobile che delimita l’angolo corrispondente e la retta tangente alla circonferenza e passante per (0,1).

In questo articolo presentiamo nel dettaglio queste nozioni, ne spieghiamo le principali proprietà e le illustriamo con numerosi grafici e figure.


 
 

La circonferenza goniometrica e gli angoli

La goniometria studia oggetti definiti sulla circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 nel piano cartesiano, rappresentata in figura 1:

\[\quad\]

Figura 1: circonferenza goniometrica e corrispondenza biunivoca tra archi e angoli al centro.

\[\quad\]

Dato un numero reale t, l’arco orientato AP(t) è l’arco di lunghezza t ottenuto percorrendo la circonferenza goniometrica dal punto A=(1,0) in senso antiorario se t>0 e orario se t<0. Ciò determina una corrispondenza biunivoca tra la misura dell’arco orientato AP(t) e l’angolo al centro \theta di cui si è ruotato il segmento OA per ottenere il segmento OP(t).

In virtù di tale corrispondenza, un angolo è identificato con la lunghezza orientata dell’arco corrispondente sulla circonferenza goniometrica, che viene detta misura in radianti dell’angolo.

La posizione del punto P(t) sulla circonferenza goniometrica genera altre quantità geometriche, che sono funzioni dell’arco t e sono note come funzioni goniometriche.

 
 

Funzione tangente

Consideriamo la retta di equazione x=1, tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A=(1,0). Definiamo la tangente di un arco t l’ordinata dell’intersezione Q(t) tra la retta di equazione x=1 e la retta passante per i punti O e P(t), come illustrato in figura 2:

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \tan t \coloneqq Q_y(t). } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 2: funzione tangente di t, definita dall’ordinata del punto Q(t), ottenuto dall’intersezione tra la retta OP(t) e la retta di equazione x=1.

\[\quad\]

Se P(t)=(0,\pm 1), la retta OP(t) coincide con l’asse y, che è parallelo alla retta di equazione x=1, come illustrato in figura 3, e quindi queste due rette non si intersecano. Dunque la tangente non è definita per gli archi

(2) \begin{equation*} \dots -\frac{5}{2}\pi, \,\, -\frac{3}{2} \pi, \,\, -\frac{\pi}{2}, \,\, \frac{\pi}{2}, \,\, \frac{3}{2}\pi, \,\, \frac{5}{2}\pi, \dots \end{equation*}

ovvero gli archi del tipo \frac{\pi}{2} +k\pi, dove k è un intero relativo.

\[\quad\]

Figura 3: se P(t)=(0,\pm 1) le rette OP(t) e x=1 non si intersecano e la tangente non è definita. Ciò corrisponde agli archi \frac{\pi}{2} + k\pi con k intero relativo.

\[\quad\]

La funzione tangente è la funzione che, a ogni t \in \mathbb{R} \setminus \left \{\frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \}, associa la sua tangente:

(3) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \tan \colon \mathbb{R} \setminus \left \{\frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} \to \mathbb{R}. } \end{equation*}

I triangoli rettangoli OHP(t) e OAQ(t) hanno l’angolo in O in comune, dunque i loro 3 angoli sono congruenti e, per il primo criterio di similitudine, tali triangoli sono simili. Da ciò segue

(4) \begin{equation*} \dfrac{\overline{AQ(t)}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{HP(t)}}{\overline{OH}} \quad \implies \quad \boxcolorato{analisi}{ \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}. } \end{equation*}

Notiamo che questa espressione è definita solo se \cos t \neq 0: ciò è coerente col dominio della tangente ottenuto sopra e infatti (4) è utilizzabile come definizione della tangente.

Come illustrato in figura 4, ogni punto Q=(1,y_0) sulla retta x=1 può essere ottenuto come intersezione con una retta OP, quindi la tangente assume ogni valore y_0 reale:

(5) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \operatorname{Im} \tan = \mathbb{R}. } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 4: immagine della funzione tangente; ogni y_0 \in \mathbb{R} è ordinata di un punto Q=(1,y_0) sulla retta x=1 e la retta OQ interseca la circonferenza goniometrica in un punto P corrispondente a un arco t.

\[\quad\]

Il grafico della tangente è rappresentato in figura 5.

\[\quad\]

Figura 5: grafico della funzione \tan.

\[\quad\]

In quanto rapporto di una funzione dispari e una pari, la tangente è una funzione dispari, cioè

(6) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \tan(-t) = } \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{- \sin t}{\cos t} =\boxcolorato{analisi}{ -\tan t. } \end{equation*}

Come illustrato in figura 6, le rette OP(t) e OP(t+\pi) coincidono, la funzione tangente è periodica di periodo T=\pi:

(7) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \tan(t + \pi) = \tan t \qquad \forall t \in \mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 6: la tangente è periodica di periodo \pi in quanto le rette OP(t) e OP(t+\pi) coincidono.

\[\quad\]

Come ogni funzione periodica non costante, essa non possiede limite all’infinito:

(8) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to \pm \infty} \tan t \qquad \text{non esiste.} } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 7: funzione cotangente di t, definita dall’ascissa del punto R(t).

\[\quad\]

Dalla definizione e dal grafico è inoltre evidente che

(9) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to \left (-\frac{\pi}{2}\right )^+} \tan t = -\infty, } \qquad \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to \left (\frac{\pi}{2}\right )^-} \tan t = +\infty. } \end{equation*}

Come il lettore può facilmente verificare, tali limiti sono validi in ogni punto \frac{\pi}{2}+k\pi con k \in \mathbb{Z}.

 
 

Funzione cotangente

La definizione della cotangente è simile a quella della tangente, ma si riferisce alle intersezioni con la retta orizzontale di equazione y=1. Definiamo la cotangente di un arco t come l’ascissa del punto di intersezione R(t) tra la retta orizzontale y=1 e la retta OP(t), come mostrato nella figura 7.

(10) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \cot t \coloneqq R_x(t) } \end{equation*}

Se P(t)=(\pm 1,0), allora la retta OP(t) corrisponde all’asse x ed è quindi parallela alla retta di equazione y=1; pertanto tali rette non si intersecano e la cotangente non è dunque definita. Ciò avviene per gli archi di circonferenza

(11) \begin{equation*} \dots, -2\pi, - \pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \end{equation*}

ovvero per gli archi del tipo k\pi con k \in \mathbb{Z}, come mostrato in figura 8.

\[\quad\]

Figura 8: se P(t)=(\pm 1,0) le rette OP(t) e y=1 non si intersecano e la cotangente non è definita. Ciò corrisponde agli archi k\pi con k intero relativo.

\[\quad\]

La funzione

(12) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \cot \colon \mathbb{R} \setminus \left \{ k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} \to \mathbb{R} } \end{equation*}

che associa a ogni t \in \mathbb{R} \setminus \left \{ k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right \} la sua cotangente è detta funzione cotangente, il cui grafico è rappresentato in figura 9.

\[\quad\]

Figura 9: grafico della funzione \cot.

\[\quad\]

Dato che i triangoli rettangoli OKP(t) e OBR(t) nella figura 7 possiedono l’angolo in O in comune e sono pertanto simili per il primo criterio di similitudine, si ha

(13) \begin{equation*} \dfrac{\overline{BQ(t)}}{\overline{OB}} = \dfrac{\overline{KP(t)}}{\overline{OK}} \quad \implies \quad\boxcolorato{analisi}{ \cot t = \dfrac{\cos t}{\sin t} = \frac{1}{\tan t}. } \end{equation*}

La relazione (13) implica in particolare che anche la funzione cotangente è dispari, infatti:

\[\cot(-t) = \frac{1}{\tan(-t)} = -\frac{1}{\tan t} = -\cot t\]

Come illustrato in figura 10, per ogni x_0 \in \mathbb{R} il punto R=(x_0,1) è l’intersezione tra la retta y=1 e una retta OP, dunque anche l’immagine della cotangente è l’insieme \mathbb{R}:

(14) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \operatorname{Im} \cot = \mathbb{R}. }\end{equation*}

\[\quad\]

Figura 10: dato che ogni punto R=(x_0,1) è intersezione della retta y=1 e di una retta OP corrispondente a un arco t, l’immagine della cotangente è \mathbb{R}.

\[\quad\]

Dal grafico della cotangente in figura 9 e dalla definizione, si ha

(15) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to 0^+} \cot t = +\infty, } \qquad \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to \pi^-} \cot t = -\infty. } \end{equation*}

I medesimi limiti sono validi per t\to (k\pi)^{\pm} con k \in \mathbb{Z}.

\[\quad\]

Figura 11: la cotangente è periodica di periodo \pi dato che le rette OP(t) e OP(t+\pi) coincidono.

\[\quad\]

Rimane valida l’osservazione, mostrata in figura 11, che le rette OP(t) e OP(t+\pi) coincidono, dunque la cotangente è periodica di periodo T=\pi:

(16) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \cot(t+\pi) = \cot(t) \qquad \forall t \in \mathbb{R} \setminus \{k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}. } \end{equation*}

Essendo periodica e non costante, la funzione cotangente non possiede limite all’infinito:

(17) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to \pm \infty} \cot t \qquad \text{non esiste.} } \end{equation*}

Si ha infine

(18) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \cot t = } \dfrac{\cos t}{\sin t} \overset{}{=} \dfrac{\sin\left (t+\frac{\pi}{2}\right )}{\cos\left (t-\frac{\pi}{2}\right )} \overset{}{=} \dfrac{-\sin\left (t-\frac{\pi}{2}\right )}{\cos\left (t-\frac{\pi}{2}\right )} =\boxcolorato{analisi}{ - \tan \left (t- \frac{\pi}{2}\right ), } \end{equation*}

dove nella terza uguaglianza abbiamo usato che \sin(\tau + \pi)=-\sin \tau.