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Funzioni seno e coseno

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni seno e coseno sono tra le principali funzioni goniometriche. Dato un certo angolo \theta, lo rappresentiamo sulla circonferenza di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 in modo che una semiretta coincida col semiasse positivo delle x, mentre l’altra semiretta ruoti in senso antiorario dell’angolo \theta, così che quest’ultima intersechi la circonferenza in un punto P. Le funzioni coseno e seno sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di tale punto P.

In questo articolo presentiamo la definizione formale di tali funzioni e ne illustriamo le principali proprietà con numerosi grafici.


 
 

La circonferenza goniometrica e gli angoli

La goniometria studia oggetti definiti sulla circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 nel piano cartesiano, rappresentata in figura 1.

\[\quad\]

Figura 1: circonferenza goniometrica e corrispondenza biunivoca tra archi e angoli al centro.

\[\quad\]

Dato un numero reale t, l’arco orientato AP(t) è l’arco di lunghezza t ottenuto percorrendo la circonferenza goniometrica dal punto A=(1,0) in senso antiorario se t>0 e orario se t<0. Ciò determina una corrispondenza biunivoca tra la misura dell’arco orientato AP(t) e l’angolo al centro \theta di cui si è ruotato il segmento OA per ottenere il segmento OP(t).

In virtù di tale corrispondenza, un angolo è identificato con la lunghezza orientata dell’arco corrispondente sulla circonferenza goniometrica, che viene detta misura in radianti dell’angolo.

La posizione del punto P(t) sulla circonferenza goniometrica genera altre quantità geometriche, che sono funzioni dell’arco t e sono note come funzioni goniometriche.
 
 

Funzioni coseno e seno

Figura 2: funzioni coseno e seno dell’arco t, pari rispettivamente all’ascissa e all’ordinata del punto P(t) determinato, sulla circonferenza goniometrica, dall’arco t.

\[\quad\]

Consideriamo l’arco t rappresentato in figura 2 e consideriamo il punto P(t) individuato dall’estremo mobile dell’angolo. Le sue coordinate cartesiane definiscono le funzioni coseno e seno di t, cioè

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{cases} \cos t \coloneqq P_x(t) \\[6pt] \sin t \coloneqq P_y(t). \end{cases} } \end{equation*}

Poiché il triangolo OHP è rettangolo in H e le lunghezze dei segmenti OH e PH sono pari rispettivamente a |\cos t| e |\sin t|, per il teorema di Pitagora si ottiene la relazione fondamentale:

(2) \begin{equation*} \big(\overline{OH}\big)^2 + \big(\overline{PH}\big)^2 = \big(\overline{OP}\big)^2 = 1 \quad \implies \quad \boxcolorato{analisi}{ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

Tale relazione è una scrittura dell’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario.

Le funzioni reali \cos e \sin che a ogni arco t \in \mathbb{R} associano il suo coseno e il suo seno hanno come dominio l’insieme \mathbb{R} dei numeri reali:

(3) \begin{gather*} \boxcolorato{analisi}{ \cos \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, } \qquad \boxcolorato{analisi}{\sin \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}. } \end{gather*}

L’argomento t delle funzioni seno e coseno può essere dunque ogni numero reale; in altri termini risultano ben definiti coseno e seno di qualunque arco sulla circonferenza goniometrica.

Il punto P(t) appartiene alla circonferenza goniometrica, il che implica che le sue coordinate cartesiane appartengono all’intervallo [-1, 1]. Inoltre, per ogni valore x_0 nell’intervallo [-1, 1], esiste un corrispondente t \in \mathbb{R} tale che \cos t = x_0. Un tale t può essere ottenuto dall’intersezione tra circonferenza goniometrica con la retta di equazione x = x_0, come mostrato nella parte sinistra della figura 3. Pertanto, l’immagine della funzione coseno coincide con [-1,1]:

(4) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \operatorname{Im} \cos = [-1,1]. } \end{equation*}

In altre parole, la funzione coseno assume ogni valore tra -1 e 1.

\[\quad\]

Figura 3: le immagini della funzione coseno (a sinistra) e della funzione seno (a destra) sono pari a [-1,1].

\[\quad\]

Analogamente, per ogni y_0 \in [-1,1], esiste t \in \mathbb{R} tale che \sin t=y_0, figura 3 a destra. Quindi

(5) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \operatorname{Im} \sin = [-1,1]. } \end{equation*}

Anche la funzione seno assume ogni valore compreso tra -1 e 1. In particolare, il seno e il coseno sono funzioni limitate.

Dato t \in \mathbb{R}, aggiungere multipli interi di 2\pi equivale a compiere giri completi sulla circonferenza goniometrica e tale processo non altera le coordinate del punto P(t). Conseguentemente

(6) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \quad \sin(t + 2k\pi) = \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R},\,\,\forall k \in \mathbb{Z}. } \end{equation*}

Le funzioni \cos e \sin sono dunque periodiche di periodo minimo T=2\pi, si veda [3, Definizione 2.53].
I loro grafici sono rappresentati in figura 4.

\[\quad\]

Figura 4: grafici delle funzioni \cos e \sin, in cui si nota la loro periodicità.

\[\quad\]

Dai grafici si vede che il coseno è una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari,1 cioè

(7) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \cos(-t) = \cos t \quad \sin(-t) = - \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

Inoltre vale

(8) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \sin(t) = \cos \left (t - \frac{\pi}{2} \right ), \quad \cos(t) = \sin \left (t + \frac{\pi}{2} \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

Come tutte le funzioni periodiche non costanti, si ha che i limiti

(9) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{t \to +\infty} \cos t \quad \text{e} \quad \lim_{t \to +\infty} \sin t \qquad \text{non esistono.} } \end{equation*}

Ciò può essere mostrato rigorosamente mediante la definizione [1, Esercizio 10] oppure utilizzando il teorema ponte [2, Esempio 3.4], che lega limiti di funzioni e limiti di successioni.

 
 

  1. per approfondimenti sulle simmetrie delle funzioni, si veda [3, sezione 2.3] ↩

    2.  
     

    Riferimenti bibliografici

    [1] Qui Si Risolve, Esercizi sulla verifica dei limiti.

    [2] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

    [3] Qui Si Risolve, Teoria sulle funzioni.