Funzioni periodiche

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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Le funzioni periodiche assumono lo stesso comportamento su intervalli successivi di una certa ampiezza, detta periodo della funzione; in altre parole, il loro grafico è invariante per traslazioni orizzontali di ampiezza pari al periodo.

La nozione di periodicità è estremamente importante in Matematica, in quanto consente di “condensare” in un unico intervallo tutte le informazioni necessarie a conoscere la funzione, poiché appunto essa si ripete uguale negli intervalli precedenti e successivi.

In questo articolo definiamo formalmente le funzioni periodiche, ne forniamo esempi e proprietà, che illustreremo con numerosi grafici, così da facilitare la comprensione del lettore.

Funzioni periodiche

Definizione 1. Una funzione $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice periodica in $E$ se esiste $T >0$ tale che

$\quad$

Il dominio $E$ è invariante per traslazione di $T$ , i.e.
$E=E+T\coloneqq \{x+T \mid x\in E\}$

$f$ è invariante per traslazione di $T$ , i.e.
$f(x+T)=f(x), \qquad \forall x \in E.$

Un tale $T$ , se esiste, viene detto un periodo di $f$ , e $f$ è detta $T$ -periodica.

$\quad$

Segue immediatamente dalla definizione precedente che se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è periodica e $T>0$ è un periodo, allora anche $kT$ è un periodo per ogni $k\in \mathbb{N}$ . Più in generale, se $T$ è un periodo, si ha

(1) $\begin{equation*} f(x+kT)=f(x), \quad \forall x\in \mathbb{R}, \;\forall k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Per verificarlo, si può procedere utilizzando il principio di induzione e il fatto che, per definizione,

$f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Il seguente risultato generalizza la precedente osservazione.

Lemma 2. Sia $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione e sia

$\mathbb{T}(f)\coloneqq \left\{ T>0: T \mbox{ è periodo di }f \right\}\subseteq \mathbb{R}^+$

l’insieme dei periodi di $f$ . Allora,

$\quad$

$\mathbb{T}(f)=\emptyset$ se e solo se $f$ è aperiodica, ovvero non è periodica;

$\mathbb{T}(f)=\mathbb{R}^+$ se e solo se $f$ è costante;

L’insieme $\mathbb{T}(f)$ è chiuso per le somme¹, i.e.
$\forall T,S \in \mathbb{T}(f) \qquad T+S \in \mathbb{T}(f).$

$\quad$

Dimostrazione.

Segue immediatamente dalla definizione.

Una funzione costante è ovviamente $T$ -periodica per ogni $T \in \mathbb{R}$ . Viceversa, se per ogni $T >0$ , $T$ è un periodo di $f \colon E \to \mathbb{R}$ , ossia se $\mathbb{T}(f)=\mathbb{R}^+$ , allora essa è costante. Infatti, dati $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ , con $x_1< x_2$ , poiché $f$ è $(x_2-x_1)$ -periodica, si ha
(2) $\begin{equation*} f(x_2) = f\big( x_1 + (x_2-x_1) \big) = f(x_1). \end{equation*}$

Se $T,S$ sono periodi di $f$ , si ha

(3) $\begin{equation*} f\big( x + (T + S) \big) = f\big( (x + T) + S \big) = f\big( x + T \big) = f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che $S$ è un periodo di $f$ , e la terza segue dal fatto che $T$ è un periodo di $f$ . L’equazione (3) prova che $T+S \in \mathbb{T}(f)$ .

Definizione 3. Sia $f:E\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione periodica. Se

$\exists T_0>0 \;:\; \mathbb{T}(f)=\{kT_0: k \in \mathbb{N}\},$

$f$ si dice periodica di periodo minimo $T_0$ , altrimenti si dice che $f$ ha periodi arbitrariamente piccoli.
Spesso, per brevità, diremo che $f$ è periodica di periodo $T_0$ , intendendo che $T_0$ è il periodo minimo di $f$ .

$\quad$

Osservazione 4. Data $f: E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , possiamo definire la seguente quantità:

$T_0(f)\coloneqq \inf \{ T >0: T \mbox{ è un periodo di } f \}.$

Si può dimostrare che, se $T_0(f)>0$ , $f$ è periodica di periodo minimo $T_0(f)$ . Abbiamo dunque tre casi:

$\quad$

$T_0(f)= +\infty$ , i.e. $f$ è aperiodica;

$T_0(f)= 0$ , i.e. $f$ ha periodi arbitrariamente piccoli;

$T_0(f) >0$ , i.e. $f$ è periodica di periodo minimo $T_0$ .

Si può dimostrare che se $f$ è continua,

allora nel secondo caso possiamo concludere che $f$ è costante.
Esempio 5. ia $f:\mathbb{R}\to [0,1]$ definita da

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \mbox{ se }x \in \mathbb{Q}; \\ 0, &\mbox{ se } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. \end{array}\right.$

Allora $f$ è periodica e $\mathbb{T}(f)=\mathbb{Q}^+$ . Infatti, dato un qualunque numero razionale positivo $T$ , si ha che $x+T$ è razionale se e solo se $x$ è razionale; ciò mostra che

(4) $\begin{equation*} f(x)=f(x+T) \quad \iff \quad T \in \mathbb{Q}^+. \end{equation*}$

Concludiamo dunque che $f$ non è aperiodica, né costante. Poiché
$T_0(f)=\inf \mathbb{Q}^+=0$ , $f$ non è periodica di periodo minimo, ma ha periodi arbitariamente piccoli (notiamo che $f$ non è continua).

Solitamente, le funzioni periodiche che si studiano sono ottenute a partire da funzioni trigonometriche (come seno, coseno, tangente…), le quali sono funzioni di periodo minimo, oppure costruite da funzioni discontinue o definite a tratti.

Un tale insieme viene chiamato anche un semigruppo. ↩

Proprietà delle funzioni periodiche ed esempi

Proposizione 6.

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periodica di periodo minimo $T$ , e sia $k>0$ . Allora la funzione
$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; g(x)=f(kx)$

è periodica di periodo minimo $\dfrac{T}{k}$ ;

Siano $T>0$ e $f_1,f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni periodiche di periodo minimo
$k_1T, k_2T$ , rispettivamente, con $k_1,k_2 \in \mathbb{N}$ . Allora la funzione

$f_1 +f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)$

è periodica, e un periodo è ${\rm m.c.m.}(k_1,k_2)T$ .

$\quad$

Dimostrazione.

Segue dal fatto che se $T$ è un periodo di $g$ , allora
$kT$ è un periodo di $f$ . Infatti,

$g(x+T)=g(x) \; \forall x \in \mathbb{R} \iff f(kx+kT)=f(kx)\; \forall x \in \mathbb{R} \iff f(y+kT)=f(y)\; \forall y \in \mathbb{R};$

La tesi è immediata conseguenza di (1): poiché $n=\operatorname{m.c.m.}(k_1,k_2)$ è un multiplo comune sia di $k_1$ che di $k_2$ , $nT$ è un periodo sia di $f_1$ che di $f_2$ per il punto 3. del lemma 2. Si ha quindi
(5) $\begin{equation*} (f_1+f_2)(x+nT) = f_1(x+nT)+f_2(x+nT) = f_1(x)+f_2(x) = (f_1+f_2)(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

che prova che $f_1+f_2$ è periodica di periodo $nT$ .

Osservazione 7. La proposizione precedente non fornisce un metodo
per calcolare il periodo minimo della funzione $f_1+f_2$
a partire dai periodi di $f_1$ e $f_2$ , perché in generale non c’è un tale metodo, come mostrano i seguenti esempi.

Esempio 8. Le funzioni $f_1,f_2 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da

$f_1(x)=|\cos x|, \qquad f_2(x)=|\sin x|\qquad \forall x \in \mathbb{R},$

(il cui grafico è rappresentato rispettivamente in blu e in verde nella figura 1), sono entrambe periodiche di periodo minimo $\pi$ , ma la funzione $g=f_1+f_2$ definita da

$g(x)=|\cos x| + |\sin x| \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

(il cui grafico è rappresentato in rosso nella figura 1) è periodica di periodo minimo $\frac{\pi}{2}$ . Chiaramente, dalla proposizione 6 si ha che un periodo di $g$ è $\pi$ , che però in questo caso non corrisponde al periodo minimo.

$\quad$

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Figura 1: le funzioni dell’esempio 8.

$\quad$

Esempio 9. Consideriamo la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\sin x$ , il cui grafico è rappresentato in blu nella figura 2), che è periodica di periodo minimo $2\pi$ . Dalla proposizione 6 precedente otteniamo:

$\quad$

Le funzioni definite da
$g_1(x)=\sin(2x), \;g_2(x)=\sin\left( \frac x 2 \right),\; g_3(x)=\sin\left( \frac x 3 \right) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

sono periodiche di periodo minimo rispettivamente pari a $\pi, 4\pi, 6\pi$ ; i loro grafici sono rappresentati rispettivamente in arancione, in verde e in rosso in Figura ??.

La funzione definita da
$h(x)=\sin\left( \frac x 2 \right)+ \sin\left( \frac x 3 \right)\qquad \forall x \in \mathbb{R}$

è periodica di periodo $12\pi$ per la proposizione 6, in quanto $\operatorname{m.c.m.}(4,6)=12$ . In questo caso si può verificare che $12\pi$ è proprio il periodo minimo di $h$ . Il grafico di $h$ è rappresentato in azzurro nella figura 5, dove sono riportati anche i grafici di $g_2$ e $g_3$ , rispettivamente in verde e in rosso.