Funzioni parte intera e parte frazionaria

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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La parte intera e parte frazionaria, come il nome suggerisce, sono delle funzioni che forniscono rispettivamente le parti intera e frazionaria di un numero reale. Più precisamente, la funzione parte intera inferiore associa a ciascun numero reale $x$ il più grande numero intero che non supera $x$ . In altre parole, data la scrittura decimale di $x$ , la parte intera inferiore $\lfloor x \rfloor$ è pari al solo numero che precede la virgola. D’altra parte, la parte intera superiore associa ad $x$ il più piccolo numero intero maggiore o uguale a $x$ . Invece, la parte frazionaria di $x$ è il numero decimale che si ottiene dalla scrittura decimale di $x$ conservando la parte che segue la virgola e ponendo invece pari a $0$ il numero che la precede.

In questo articolo forniamo le definizioni rigorose di queste funzioni, ne studiamo le proprietà e le relazioni reciproche, illustrandole con esempi e grafici.

Parte intera inferiore

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La funzione parte intera inferiore si definisce come segue.

Definizione 1 (Parte intera inferiore). Si definisce parte intera o, più precisamente, parte intera inferiore, la funzione $\lfloor\cdot \rfloor \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} \lfloor x \rfloor\coloneqq \max\{k \in \mathbb{Z}: k \le x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

La definizione è ben posta in quanto l’insieme dato da (1) è un sottoinsieme dei numeri interi superiormente limitato, e quindi ha un massimo. La funzione $\lfloor\cdot \rfloor$ , valutata in $x \in \mathbb{R}$ , assume il valore del più grande numero intero $k \in \mathbb{Z}$ minore o uguale a $x$ . Dalla definizione segue quindi che

(2) $\begin{equation*} \lfloor x \rfloor=k \qquad \forall x \in [k,k+1), \,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}, \end{equation*}$

cioè che $\lfloor {\cdot} \rfloor$ è costantemente pari a $k$ nell’intervallo $[k,k+1)$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Ad esempio si ha

(3) $\begin{equation*} \left \lfloor {\dfrac 12} \right \rfloor=0, \qquad \lfloor {\pi} \rfloor=3, \qquad \lfloor {e } \rfloor=2, \qquad \lfloor {2} \rfloor=2, \qquad \left \lfloor {-\frac{3}{2}} \right \rfloor=-2. \end{equation*}$

Pertanto, il suo grafico è quello rappresentato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: Grafico della funzione $\lfloor \cdot \rfloor$ definita da (1).

$\quad$

Nonostante dalla definizione possa non apparire evidente, anche la funzione $\lfloor {\cdot} \rfloor$ può essere scritta come somma pesata di funzioni caratteristiche:

(4) $\begin{equation*} \lfloor {x} \rfloor = \dots -2 \cdot \mathbf{1}_{[-2,-1)}(x) -1 \cdot \mathbf{1}_{[-1,-0)}(x) + 0 \cdot \mathbf{1}_{[0,1)}(x) + 1 \cdot \mathbf{1}_{[1,2)}(x) + \dots = \sum_{k \in \mathbb{Z}} k \cdot \mathbf{1}_{[k,k+1)}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Proprietà della funzione parte intera inferiore

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Riportiamo ora alcune semplici proprietà di $\lfloor {\cdot} \rfloor$ deducibili facilmente dalla definizione 1 e dal grafico di figura 1:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione parte intera inferiore è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.

(Simmetrie.) La funzione parte intera inferiore non è né pari né dispari. Infatti, si ha
(5) $\begin{equation*} \lfloor {-x} \rfloor = \begin{cases} - \lfloor {x} \rfloor, & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ -\lfloor x\rfloor-1, & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Per esempio:

$\lfloor-2.5\rfloor=-3=-2-1=-\lfloor 2.5 \rfloor-1.$

(Periodicità.) La funzione parte intera inferiore non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $x$ è costituita da tutti i punti
$P_x=(x,0) \qquad \forall x\in [0,1).$

Segue che l’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P_0=(0,0)$ .

(Segno.) La funzione parte intera inferiore ha il seguente segno
$\lfloor x\rfloor \geq 0 \quad \iff \quad x\geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione parte intera inferiore è monotona non decrescente ed è costante a tratti, sugli intervalli del tipo $[n,n+1)$ con $n \in \mathbb{Z}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione parte intera inferiore è $\mathbb{Z}$ . In particolare, $\lfloor x \rfloor$ è illimitata superiormente e inferiormente.

(Invertibilità.) La funzione parte intera inferiore non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $|0|=|0.5|$ .

Si hanno inoltre le seguenti proprietà:

$\quad$

La funzione $\lfloor {\cdot} \rfloor$ è additiva quando almeno uno dei numeri a cui si applica è intero; in formule

(6) $\begin{equation*} \lfloor k+x\rfloor=k+\lfloor x\rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Ad esempio,

(7) $\begin{equation*} \lfloor 7+\pi\rfloor=\lfloor 10, 141592...\rfloor =10=7+3=7+\lfloor \pi\rfloor. \end{equation*}$

Ciò non vero è in generale vero se $k \notin \mathbb{Z}$ , ad esempio

(8) $\begin{equation*} \left \lfloor {\frac{3}{2}+ \frac{3}{2}} \right \rfloor = 3 \neq 1+1 = \left \lfloor {\frac{3}{2}} \right \rfloor+ \left \lfloor {\frac{3}{2}}\right \rfloor.\end{equation*}$

La funzione $\lfloor {\cdot} \rfloor$ è una funzione \emph{idempotente}, cioè
(9) $\begin{equation*} \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Per esempio:

$\lfloor\lfloor \sqrt 2 \rfloor \rfloor=\lfloor 1 \rfloor=1=\lfloor \sqrt 2 \rfloor.$

Si ha
(10) $\begin{equation*} \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor+1 \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad \text{e} \qquad x= \lfloor x\rfloor \iff x \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

Parte intera superiore

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Similmente alla funzione parte intera si può definire la funzione parte intera superiore.

Definizione 2 (parte intera superiore). Si definisce parte intera superiore, la funzione $\lceil {\cdot} \rceil \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(11) $\begin{equation*} \lceil {{x}} \rceil=\min\{k \in \mathbb{Z}: k \geq x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

La funzione $\lceil {\cdot} \rceil$ , valutata in $x \in \mathbb{R}$ , assume il valore del più piccolo numero intero $k \in \mathbb{Z}$ maggiore o uguale a $x$ . Ad esempio si ha

(12) $\begin{equation*} \left \lceil {\dfrac 12} \right \rceil=1, \qquad \lceil {\pi} \rceil=4, \qquad \lceil {e } \rceil=3, \qquad \lceil {2} \rceil=2, \qquad \left \lceil {-\frac{3}{2}} \right \rceil =-1. \end{equation*}$

Dalla definizione segue quindi che

(13) $\begin{equation*} \lceil {x} \rceil=k \qquad \forall x \in (k-1,k], \,\,\,\forall k \in \mathbb{Z}, \end{equation*}$

cioè che $\lceil {\cdot} \rceil$ è costantemente pari a $k$ nell’intervallo $(k-1,k]$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Pertanto, il suo grafico è quello rappresentato in figura 2.

$\quad$

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Figura 2: il grafico della funzione $\lceil \cdot\rceil$ .

$\quad$

Analogamente alla funzione $\lfloor {\cdot} \rfloor$ , anche la funzione $\lceil {\cdot} \rceil$ può essere scritta come somma pesata di funzioni caratteristiche:

(14) $\begin{equation*} \lceil {x} \rceil = \sum_{k \in \mathbb{Z}} k \cdot \mathbf{1}_{(k-1,k]}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

La funzione $\lceil {\cdot} \rceil$ soddisfa delle proprietà analoghe a quelle della funzione $\lfloor {\cdot} \rfloor$ ; invitiamo il lettore a scriverle per esercizio, facendo anche qualche esempio.

Esplicitiamo di seguito alcune relazioni tra la funzione parte intera e la funzione parte intera superiore e invitiamo il lettore a verificarle.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare le seguenti identità:

$\quad$

(15) $\begin{equation*} \lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor \quad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} \lfloor k / 2\rfloor+\lceil k / 2\rceil=k \quad \forall k \in \mathbb{Z}; \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} \lceil x\rceil = \begin{cases} \lfloor x\rfloor, & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ \lfloor x\rfloor+1 , & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Parte frazionaria

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Un’altra funzione interessante è quella data dalla parte frazionaria definita come la differenza tra un numero reale e la sua parte intera.

Definizione 4 (parte frazionaria). Si definisce parte frazionaria o mantissa, la funzione $\{\cdot\} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(18) $\begin{equation*} \{{x}\}= x-\lfloor x \rfloor \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Rappresentando i numero reali in forma decimale, la parte frazionaria di un numero si ottiene evidentemente lasciando inalterate le cifre dopo la virgola, la mantissa appunto, e ponendo a zero le cifre prima della virgola.

Facciamo qualche esempio per chiarire la definizione:

(19) $\begin{equation*} \{k\}=0 \quad \forall k \in \mathbb{Z}, \qquad \{\pi\}=\pi-[\pi]=3,1415{\dots} -3=0,1415{\dots} \end{equation*}$

Il grafico della funzione $\{\cdot\}$ è rappresentato in figura 3.

$\quad$

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Figura 3: il grafico della funzione $\{ \cdot\}$ .

Proprietà della funzione parte frazionaria

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Le proprietà della funzione parte frazionaria sono facilmente ricavabili dalla definizione 4 e dal grafico di figura 3:

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione parte frazionaria è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 4.

(Simmetrie.) La funzione parte frazionaria non è né pari né dispari. Infatti, si ha
(20) $\begin{equation*} \left\{ -x \right\} = -x- \lfloor {-x} \rfloor = \begin{cases} -x- \lfloor {x} \rfloor , & \text{se } x \in \mathbb{Z};\\ -x -\lfloor x\rfloor-1 , & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Per esempio,

$\left\{ -2.4 \right\}=-2,4-(-3)=0.6\neq \begin{cases} \left\{ 2,4 \right\}=0,4; \\ - \left\{ 2,4 \right\}=-0,4. \end{cases}$

(Periodicità.) La funzione parte frazionaria è periodica di periodo minimo $1$ . Infatti si ha
(21) $\begin{equation*} \{x+1\} = x+1-\lfloor x +1\rfloor = x+1-\lfloor x \rfloor-1 = x-\lfloor x \rfloor = \{x\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza si è usata (6). Ciò mostra che $\{\cdot\}$ è periodica di periodo $1$ . Per mostrare che $1$ è il periodo minimo di $\{\cdot\}$ , osserviamo che si ha

(22) $\begin{equation*} \{0+T\}=T \neq \{0\} \qquad \forall T \in (0,1), \end{equation*}$

da cui segue che nessun $T \in (0,1)$ è un periodo per $\{\cdot\}$ .

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $x$ è costituita da tutti i punti
$P_k=(k,0) \qquad \forall k\in \mathbb{Z}.$

Segue che l’intersezione con l’asse $x$ è data dal punto $P_0=(0,0)$ .

(Segno.) La funzione parte frazionaria è non negativa, ovvero
$\left\{ x \right\}\geq 0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione parte frazionaria è monotona strettamente crescente in ogni intervallo del tipo $[k,k+1)$ con $k\in \mathbb{Z}$ .

(Immagine.) L’immagine della funzione parte frazionariae è l’intervallo $[0,1)$ ; in particolare, $\{\cdot\}$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha
(23) $\begin{equation*} \inf_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=\min_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=0; \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} \{x\}=1\notin \operatorname{Im} \{\cdot\}. \end{equation*}$

(Invertibilità.) La funzione parte frazionaria non è invertibile, in quanto non iniettiva. Ad esempio, $\left\{ 0,5 \right\}=\left\{ 1,5 \right\}$ .