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Funzioni pari e dispari

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni pari e dispari sono funzioni reali di variabile reale che possiedono particolari simmetrie. Una domanda semplice rispetto a una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è cosa si può dire su f(-x) conoscendo f(x). Se la funzione, calcolata nei punti opposti, è uguale, ossia se f(-x)=f(x) per ogni x, allora f si dice pari. Se invece, invertendo l’argomento si inverte anche il risultato, ovvero se f(-x)=-f(x) per ogni x, allora f si dice dispari.

Queste simmetrie, seppur semplici, sono molto importanti perché ad esempio permettono di ridurre i casi da trattare in alcuni argomenti e anche perché, come vedremo, ogni funzione si scrive in modo unico come somma di una funzione pari e di una dispari. Queste funzioni costituiscono, quindi, una sorta di base simmetrica per l’insieme di tutte le funzioni reali.

In questo articolo offriamo al lettore le definizioni rigorose di questi concetti, ne studiamo le proprietà e li illustriamo con esempi e figure.


 
 

Funzioni pari e dispari

Un’informazione utile al fine di studiare il grafico di una funzione è la presenza di eventuali simmetrie. Particolari simmetrie sono quelle rispetto l’asse y e all’origine.

Definizione 1. Una funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} si dice

\[\quad\]

  • pari se, per ogni x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=f(-x);

    •  

  • dispari se, per ogni x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=-f(-x).

\[\quad\]

Osservazione 2. Nella definizione 1 abbiamo supposto che {\rm Dom}(f) = \mathbb{R}; tale ipotesi non è veramente necessaria: ha senso chiedersi se una funzione f \colon E\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} è pari o dispari, a patto che E=-E, i.e. E è simmetrico rispetto allo 0:

(1) \begin{equation*} x \in E \iff -x \in E. \end{equation*}

Questo è tutto ciò che occorre per confrontare i valori f(x) e f(-x) per ogni x \in E.
Per semplicità di esposizione, nel seguito ci riferiremo solo a funzioni aventi dominio pari a \mathbb{R}, ma i risultati enunciati valgono nella generalità sopra esposta.

Lemma 3 (parità e simmetrie).
La parità di una funzione è collegata con delle simmetrie del suo grafico.

\[\quad\]

  1. Una funzione f è pari se e soltanto se il suo grafico \Gamma_f è simmetrico rispetto all’asse y;

    2.  

  2. Una funzione f è dispari se e soltanto se il suo grafico \Gamma_f è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

\[\quad\]

Dimostrazione.

  1. Si ha

    (2) \begin{equation*} (x,y) \in \Gamma_ f \iff y=f(x)=f(-x) \iff (-x,y) \in \Gamma_f, \end{equation*}

    cioè \Gamma_f è simmetrico rispetto alla riflessione rispetto all’asse y.

    2.  

  2. Si ha

    (3) \begin{equation*} (x,y) \in \Gamma_ f \iff y=f(x)=-f(-x) \iff (-x,-y) \in \Gamma_ f, \end{equation*}

    cioè \Gamma_f f è simmetrico rispetto alla riflessione rispetto all’origine degli assi.





Notazioni

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Figura 1: grafico (a sinistra) di una funzione pari, in cui si può notare la simmetria rispetto all’asse y (tratteggiata in rosso). Grafico (a destra) di una funzione dispari, in cui si può notare la simmetria rispetto all’origine degli assi (tratteggiata in rosso).

Esempio 4. Siano f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} le funzioni definite da

(4) \begin{equation*} f(x) = x^2, \quad g(x) =x^3, \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}





Notazioni

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Figura 2: grafici delle funzioni f,g dell’esempio 4, in scala 2:1 e 4:1 rispettivamente. A sinistra, il grafico della funzione quadratica f; a destra, il grafico della funzione cubica g. Si noti la simmetria di f rispetto all’asse y e la simmetria di g rispetto all’origine degli assi.

\[\quad\]

Verifichiamo che f è una funzione pari e g è una funzione dispari.
Infatti, per ogni x \in \mathbb{R} si ha

\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x) \quad \text{e} \quad g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(-x). \]

I grafici di g e f sono riportati in figura 2. Si noti la simmetria di \Gamma_ f rispetto all’asse y e la simmetria di g rispetto all’origine degli assi.

Il prossimo risultato è facilmente dimostrabile a partire dalle definizioni appena date.

Lemma 5. Siano f,g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Allora valgono le seguenti proprietà:

  1. Se f è sia pari che dispari, allora f è la funzione nulla, cioè

    (5) \begin{equation*} f(x)=0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

    2.  

  2. Se f e g sono entrambe pari (risp. dispari) allora per ogni \alpha,\beta \in \mathbb{R} la funzione

    \[h=\alpha f + \beta g\]

    è pari (risp. dispari).

    3.  

  3. (Regola dei segni) Se f e g sono entrambe pari, oppure entrambe dispari, allora la funzione prodotto h=fg è pari. Analogamente, se f è pari e g è dispari, allora la funzione prodotto h=fg è dispari.

    4.  

  4. Se f è pari, allora g \circ f è pari anche se g non è né pari né dispari. Se f è dispari si hanno invece i seguenti casi:

    (6) \begin{equation*} \begin{tabular}{|c|c|} \hline & $f$ dispari \\ \hline $g$ pari & $g \circ f$ pari \\ \hline $g$ dispari & $g \circ f$ dispari\\ \hline \end{tabular}. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo solo il punto 1, lasciando gli altri come facile esercizio per il lettore. Si ha

(7) \begin{equation*} f(x) = f(-x) = -f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

dove la prima uguaglianza deriva dal fatto che f è pari e la seconda deriva dal fatto che f è dispari. Da f(x)=-f(x) segue 2f(x)=0, cioè

(8) \begin{equation*} f(x) = 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Si ha il seguente semplice risultato che permette di decomporre una qualsiasi funzione definita su \mathbb{R} e a valori reali come somma di una funzione pari più una dispari.

Lemma 6. Per ogni funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, esistono una funzione pari f_p:\mathbb{R}\to \mathbb{R} e una dispari f_d:\mathbb{R}\to \mathbb{R} tali che

\[ f=f_p+f_d. \]

Inoltre, tale decomposizione di f è unica.

\[\quad\]

Dimostrazione. Per ogni x\in \mathbb{R}, si ha

(9) \begin{equation*} f(x)=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)}{2}=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(-x)}{2}+\frac{f(x)}{2}-\frac{f(-x)}{2}. \end{equation*}

Siano f_p,f_d \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} le funzioni definite da

(10) \begin{equation*} f_p(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, \quad f_d(x) =\frac{f(x)-f(-x)}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Da (9) si ha che

(11) \begin{equation*} f(x)=f_p(x)+f_d(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

mentre dalla definizione (10) si vede che

\[ f_p(-x)=f_p(x) \quad \text{e} \quad f_d(-x)=-f(-x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \]

da cui deduciamo che (11) è la decomposizione voluta.

L’unicità di tale decomposizione deriva dal punto 1. del lemma 5.

Supponiamo che f=f_p+f_d=g_p+g_d con f_p,g_p funzioni pari e f_d,g_d funzioni dispari, e dimostriamo che f_p=g_p e f_d=g_d. Si ha

(12) \begin{equation*} f_p+f_d= g_p+g_d \quad \iff \quad f_p-g_p=g_d-f_d, \end{equation*}

e quindi, per il punto 2. del lemma 5, la funzione f_p-g_p è una funzione pari (risp. g_d-f_d è una funzione dispari).
La (12) dunque implica che una funzione pari coincide con una funzione dispari, e questo implica che tale funzione è la funzione nulla, per il punto 1. del lemma 5. Otteniamo che

\[f_p(x)-g_p(x)=g_d(x)-f_d(x)=0\qquad \forall x \in \mathbb{R},\]

da cui la conclusione.