Funzioni monotone

Home » Funzioni monotone

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

Leggi...

Le funzioni monotone sono quelle funzioni reali di variabile reale per le quali l’ordinamento dei valori $f(a),f(b)$ è coerente o inverso a quello dei numeri reali $a,b$ . Più precisamente, una funzione si dice crescente se l’immagine della variabile cresce al crescere della variabile, mentre si dice decrescente se avviene l’opposto, cioè se l’immagine della variabile decresce al crescere della variabile.

La monotonia di una funzione è un aspetto estremamente importante del suo studio, in quanto consente di stabilire immediatamente per quali valori tale funzione assume valore massimo e minimo; più in generale, la monotonia consente di confrontare agevolmente i valori assunti dalla funzione in base al solo ordinamento dei relativi argomenti.

In questo articolo esploriamo il concetto di monotonia, lo definiamo in maniera rigorosa, e ne studiamo le proprietà principali.

Funzioni monotone

Definizione 1. Una funzione $f:E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice¹

$\quad$

Monotona crescente se per ogni $x,y\in E$ tali che $x<y$ si ha $f(x)\le f(y)$ .

Monotona decrescente se per ogni $x,y\in E$ tali che $x<y$ si ha $f(x)\ge f(y)$ .

Monotona strettamente crescente se per ogni $x,y\in E$ tali che $x<y$ si ha $f(x)< f(y)$ .

Monotona strettamente decrescente se per ogni $x,y\in E$ tali che $x<y$ si ha $f(x)> f(y)$ .

$\quad$

Osservazione 2. Una funzione strettamente crescente è anche crescente, mentre il viceversa in generale è falso; analogamente, una funzione strettamente decrescente è anche decrescente, mentre il viceversa in generale è falso.

Inoltre, se una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ è sia crescente che decrescente, allora è costante: infatti, per ogni $x, y \in E$ tali che $x \leq y$ , deve aversi

(1) $\begin{equation*} f(x) \leq f(y), \qquad f(x) \geq f(y), \end{equation*}$

che implica $f(x)=f(y)$ .

Esempio 3.

Sia $f_1 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da
(2) $\begin{equation*} f_1(x) = \begin{cases} x, & \text{se } x \in (-\infty,1]; \\ 1, & \text{se } x \in (1,3]; \\ 2x - 4, & \text{se } x \in (3,+\infty). \end{cases} \end{equation*}$

$f_1$ è una cosiddetta funzione definita per casi e il suo grafico è rappresentato in alto a sinistra nella figura 1. Si verifica facilmente che $f_1$ è monotona crescente, come evidenziato dalla figura: da $x_1<x_2<x_3$ segue

(3) $\begin{equation*} f_(x_1) \leq f_(x_2) < f_(x_3). \end{equation*}$

$f_1$ non è però strettamente crescente, infatti, se $x_1,x_2 \in (1,3]$ con $x_1 < x_2$ , si ha

$1=f_1(x_1)=f_1(x_2).$

La funzione $f_2 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da
(4) $\begin{equation*} f(x) = \frac{x^5}{4} - \frac{8}{5}x^3 + 2x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

e il cui grafico è rappresentato in alto a destra nella figura 1 non è monotona: infatti per i tre punti $x_1 < x_2 < x_3$ rappresentati si ha

(5) $\begin{equation*} f_2(x_1) < f_2(x_2), \qquad f_2(x_2) > f_2(x_3). \end{equation*}$

Come si può notare dal grafico, $f_2$ è monotona strettamente decrescente nell’intervallo $[x_2,x_3]$ .

La funzione $f_3 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da
(6) $\begin{equation*} f_3(x) = -x^3 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

il cui grafico è rappresentato in basso a sinistra nella figura 1 è strettamente decrescente, come si può notare dalla scelta dei punti $x_1,x_2$ fatta ad esempio sul grafico.

La funzione $f_4 \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da
(7) $\begin{equation*} f_4(x) = x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

(il cui grafico è rappresentato in basso a destra nella figura 1) non è monotona, infatti per i tre punti $x_1 < x_2 < x_3$ rappresentati si ha

(8) $\begin{equation*} f_4(x_1) > f_4(x_2), \qquad f_4(x_2) < f_4(x_3). \end{equation*}$

$f_4$ è però monotona strettamente decrescente su $(-\infty, 0]$ e strettamente crescente su $[0,+\infty)$ .

$\quad$

Notazioni

Figura 1: grafici (in blu) delle funzioni dell’esempio 3.

$\quad$

Osservazione 4. Nell’esempio 3, abbiamo preferito illustrare più che dimostrare le affermazioni fatte; ad esempio, le affermazioni che la funzione $f_1$ sia crescente, che la funzione $f_3$ sia strettamente decrescente e che la funzione $f_4$ sia crescente se ristretta a $[0,+\infty)$ andrebbero dimostrate rigorosamente, scegliendo due generici $x_1,x_2$ e provando che le loro immagini soddisfano le relazioni della definizione 1. Il lettore può svolgere questi ragionamenti come utile esercizio.

Esempio 5. La funzione $f \colon \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}_0^+$ definita da

(9) $\begin{equation*} f(x) = \sqrt[4]{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}_0^+ \end{equation*}$

è monotona strettamente crescente: per qualunque $x_1,x_2\in \mathbb{R}^+$ con $x_1<x_2$ , si ha $\sqrt[4] x_1<\sqrt[4] x_2$ , come mostrato in figura 2. Per dimostrarlo, osserviamo che per ogni $x \in \mathbb{R}_0^+$ , $f(x)$ soddisfa

(10) $\begin{equation*} \big(f(x)\big)^4 = x, \end{equation*}$

per definizione di radice quarta. Scegliamo quindi $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_0^+$ tali che $x_1 < x_2$ .

Se avessimo $f(x_1) \geq f(x_2)$ , poiché la potenza di esponente $4$ è una funzione crescente (moltiplicando per sé stessi numeri positivi maggiori si ottengono risultati maggiori), da (10) si otterrebbe

(11) $\begin{equation*} x_1 = \big(f(x_1)\big)^4 \geq \big(f(x_2)\big)^4 = x_2, \end{equation*}$

cioè $x_1 \geq x_2$ , che contraddice $x_1 < x_2$ ; la contraddizione deriva dall’aver supposto che $f(x_1) \geq f(x_2)$ , quindi ciò vuol dire che $f(x_1) < f(x_2)$ .

$\quad$

Figura 2: grafico (in blu) della funzione dell’esempio 5.

$\quad$

Segnaliamo che alcuni autori utilizzano una terminologia differente, utilizzando il termine non-decrescente (risp. non-crescente) per quello che noi abbiamo definito come crescente (risp. decrescente) e riservano il termine crescente (risp. descrescente) per quello che noi abbiamo definito come strettamente crescente (risp. strettamente decrescente. ↩

Proprietà delle funzioni monotone

Vediamo ora un risultato che collega la monotonia di una funzione alla sua invertibilità.

Teorema 6. Sia $f \colon E \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione monotona strettamente crescente (risp. decrescente) in $E$ . Allora, la funzione

$f|^{{\rm Im }f} \colon E \to {\rm Im }(f)$

è invertibile e la sua inversa è una funzione monotona strettamente crescente (risp. decrescente).

$\quad$

Dimostrazione. Senza perdita di generalità, supponiamo che $f$ sia monotona strettamente crescente, l’altro caso è analogo. Questo significa che per ogni $x,y\in E$ con $x<y$ , si ha $f(x)<f(y)$ . In particolare, questo implica che $f$ è iniettiva. Considerando $f|^{{\rm Im} f}$ , cioè la funzione ottenuta a partire da $f$ restringendo il suo codominio alla sua immagine, essa rimane iniettiva, in quanto $f$ lo è, ed è anche suriettiva, per definizione. Dunque, $f|^{{\rm Im }f}$ è biettiva e dunque invertibile come funzione $E \to {\rm Im}(f)$ . Sia $g$ la sua inversa. Per dimostrare l’ultima affermazione, scegliamo due elementi qualunque $y_1, y_2 \in f(E)$ con $y_1 < y_2$ e verifichiamo che $g(y_1) < g(y_2)$ . Poniamo quindi $x_1=g(y_1)$ e $x_2=g(y_2)$ ; poiché $g$ è l’inversa di $f|^{{\rm Im} (f)}$ , si ha

(12) $\begin{equation*} f(x_1) = y_1 < y_2 = f(x_2). \end{equation*}$

Per la monotonia di $f$ deve aversi quindi $x_1 < x_2$ , cioè

(13) $\begin{equation*} g(y_1) = x_1 < x_2 =g(y_2). \end{equation*}$

Esempio 7. La funzione quadratica $f:x \in \mathbb{R}_0^+ \mapsto x^2 \in \mathbb{R}_0^+$ è monotona strettamente crescente, quindi invertibile per il teorema 6. dunque, esiste una funzione $g: f(\mathbb{R}_0^+)\to \mathbb{R}_0^+$ che è inversa di $f$ , la quale sappiamo essere la funzione $g: x \in \mathbb{R}_0^+ \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}_0^+$ . La parte non banale di questa affermazione, che non abbiamo dimostrato in questa dispensa, è dimostrare rigorosamente che $f$ è suriettiva. Ciò segue dall’assioma di completezza.

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare, con un controesempio, che non vale il viceversa nel teorema precedente, ovvero: trovare una funzione che sia invertibile ma non monotona.

$\quad$

(Suggerimento: Si consideri $E=[0,2]$ e si divida ad esempio $E= [0,1] \cup (1,2]$ ; si scelgano poi quattro numeri $a<b<c<d$ in $\mathbb{R}$ , due funzioni $f_1 \colon [0,1] \to [a,b]$ , crescente, e $f_2 \colon (1,2] \to [c,d)$ , decrescente, (ad esempio lineari); si definisca infine $f \colon E \to \mathbb{R}$ tale che