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Funzioni lineari e affini f(x)=mx+q

Funzioni elementari

Home » Funzioni lineari e affini

 
 

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni lineari e affini sono quelle il cui grafico è costituito da una retta. Se tale retta passa per l’origine degli assi, allora la funzione è lineare, ossia soddisfa f(a+b)=f(a)+f(b) e f(\lambda x)= \lambda f(x). Se invece il grafico non passa per l’origine, la funzione è detta affine e si ottiene sommando una costante fissata a una data funzione lineare con la stessa pendenza.

Le funzioni lineari e affini consentono di descrivere una larga fetta di fenomeni, o di fornirne approssimazioni molto spesso utili e piuttosto accurate. In questo articolo definiamo queste funzioni in maniera rigorosa e ne illustriamo le proprietà principali con esempi e figure.


 
 

Funzioni lineari

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Definizione 1 (funzione lineare). Una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} si dice lineare se

(1) \begin{equation*} f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x)+ \beta f(y) \qquad \forall \alpha,\beta,x,y\in \mathbb{R}. \end{equation*}

\[\quad\]

Nella prossima proposizione familiarizziamo con il concetto di funzione lineare.

Proposizione 2 (proprietà delle funzioni lineari su \mathbb{R}). Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione lineare. Allora, vale che

\[\quad\]

  1. f(0)=0;

    2.  

  2. se f(x_0)=0 per qualche x_0 \neq 0, allora f è identicamente nulla.

\[\quad\]

Dimostrazione. La dimostrazione è una semplice applicazione della formula (1).

\[\quad\]

  1. Ponendo x=y=0 e \alpha=\beta=1 in (1), troviamo

    \[f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) \implies f(0)=0.\]

    2.  

  2. Da (1), troviamo

    \[f(x)=f\left( \frac{x}{x_0} x_0 \right)=\frac{x}{x_0}f(x_0)=0,\]

    dove abbiamo posto \alpha=0, y=x_0 e \beta = \dfrac{x}{x_0}.

Il collegamento tra funzioni lineari e le funzioni potenza di primo grado è evidenziato nella proposizione seguente.

Proposizione 3 (caratterizzazione delle funzioni lineari su \mathbb{R}). Una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è lineare se e solo se esiste m \in \mathbb{R} tale che

(2) \begin{equation*} f(x)=mx \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Se f è della forma (2), allora si vede immediatamente che soddisfa (1):

\[f(\alpha x + \beta y) = m(\alpha x + \beta y)= m\alpha x + m\beta y= \alpha mx + \beta my= \alpha f(x)+ \beta f(y) \qquad \forall \alpha,\beta,x,y\in \mathbb{R},\]

dove abbiamo usato la proprietà distributiva del prodotto sulla somma e la proprietà commutativa del prodotto.

Viceversa, se f è lineare, ponendo m\coloneqq f(1), da (1) con \alpha=0, \beta=x, y=1 si ha

(3) \begin{equation*} f(x) = f(x \cdot 1) = x f(1) = m x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Per una funzione lineare f, quindi, è sufficiente conoscere il valore f(1) per determinare il valore f(x) per ogni x \in \mathbb{R}1. Ci proponiamo ora di capire come sono fatti i grafici di funzioni lineari.    

  1. Più in generale, f è determinata da un qualunque valore f(x) per x \neq 0, in quanto m=f(1)=\dfrac{f(x)}{x}. ↩

 
 

Grafici di funzioni lineari

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Per ottenere informazioni sul grafico delle funzioni lineari, cominciamo con l’esempio rappresentato in figura 1.

\[\quad\]

Figura 1: i punti O,P,Q appartengono al grafico di una funzione lineare. I triangoli OPH e OQK sono simili, quindi i punti O,P,Q sono allineati.

\[\quad\]

Esempio 4. In figura 1 abbiamo riportato 3 punti (in blu) appartenenti al grafico di una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} lineare, definita da f(x)=mx con m>0: il punto O=(0,0), l’origine degli assi, e due punti generici P e Q appartenenti al grafico di f, di ascisse x_1 e x_2 rispettivamente. I punti H,K sono le proiezioni rispettivamente di P,Q sull’asse x.

Osserviamo che i triangoli OPH e OQK sono rettangoli rispettivamente in H e K. Poiché f(x)=mx per ogni x \in \mathbb{R}, si ha

(4) \begin{equation*} \overline{PH} = m \cdot \overline{OH}, \qquad \overline{QK} = m \cdot \overline{OK}. \end{equation*}

In altre parole, abbiamo

(5) \begin{equation*} \dfrac{{OH}}{{PH}} = \dfrac{{OK}}{{QK}} = m, \end{equation*}

cioè i rapporti tra le lunghezze dei cateti dei due triangoli rettangoli \triangle OPH e \triangle OQK sono uguali. Ciò dimostra che i due triangoli sono simili, e dunque i due angoli in O sono uguali:

(6) \begin{equation*} \angle HOP=\angle{K{O}Q}, \end{equation*}

da cui segue che i punti O,P,Q sono allineati. Per l’arbitrarietà dei punti considerati, tutti i punti di \Gamma_f giacciono sulla stessa retta passante per l’origine, e quindi \Gamma_f è costituito da tale retta.

Se il coefficiente angolare m fosse stato negativo, allora la retta sarebbe stata contenuta nel secondo e nel quarto quadrante, ossia nella parte di piano in cui x e y hanno segno opposto, come mostrato in figura 2.

\[\quad\]

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Figura 2: grafico (in blu) di una funzione lineare definita da f(x)=mx con m>0 e il grafico (in arancio) di una funzione lineare definita da f(x)=mx con m<0.


 
 

Proprietà delle funzioni lineari

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Sia m\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} e sia

\[f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=mx.\]

La funzione lineare f soddisfa le seguenti proprietà.

\[\quad\]

  • (Dominio.) Il dominio della funzione lineare f è \mathbb{R}.

    •  

  • (Simmetrie.) La funzione lineare f è dispari. Infatti,

    \[f(-x)=m(-x)=-mx=-f(x).\]

    In particolare, il grafico della funzione f è simmetrico rispetto all’origine.

    •  

  • (Periodicità.) La funzione lineare f non è periodica.

    •  

  • (Intersezione con gli assi.) La funzione lineare f ha come unica intersezione con l’asse x il punto O=(0,0), il quale è anche l’intersezione con l’asse y.

    •  

  • (Segno.) Il segno della funzione lineare f è il seguente.

    \[f(x)=mx\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} x \geq 0, & \mbox{ se } m>0;\\ x\leq 0, & \mbox{ se } m<0. \end{cases}\]

    •  

  • (Intervalli di monotonia.) La funzione lineare f è monotona strettamente crescente se m>0 (risp. monotona strettamente decrescente se m<0).

    •  

  • (Immagine.) La funzione lineare f ha come immagine

    \[\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.\]

    •  

  • (Invertibilità.) La funzione lineare f è invertibile, e l’inversa è data da

    \[f^{-1}(x)=\frac{x}{m}.\]

    Infatti,

    \[y=mx \quad \iff \quad x=\frac{y}{m}.\]


 
 

Ruolo del coefficiente angolare m

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Come abbiamo visto in figura 2, il segno del coefficiente angolare di una funzione lineare determina se la parte del grafico della funzione relativa al semipiano delle x positive si trova al di sopra o al di sotto dell’asse x.

Data una funzione lineare f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x)=mx, possiamo però dedurre delle informazioni più quantitative dalla figura 1 e in particolare dall’equazione (5): il coefficiente angolare m rappresenta il rapporto tra le lunghezze del cateto verticale Q_iP_i e del cateto orizzontale O,Q_i.

Notiamo che la retta grafico della funzione f è sempre più “inclinata in verticale” al crescere di m. Se invece m è molto vicino a 0, il cateto verticale è di lunghezza “piccola” rispetto al cateto orizzontale, pertanto la retta grafico di f tende ad avere un inclinazione quasi orizzontale.

Viceversa, se m<0, queste considerazioni sono speculari rispetto all’asse x.

In conclusione, il valore del coefficiente angolare determina l’angolo che il grafico della funzione lineare forma col semiasse positivo dell’asse x. In figura abbiamo rappresentato i grafici di alcune funzioni lineari al variare del coefficiente angolare m, ottenendo così il cosiddetto fascio proprio di rette passante per il punto (0,0).

\[\quad\]

Figura 3: alcune delle rette appartenenti al fascio proprio di rette di equazione y=mx.

\[\quad\]

Riassumiamo di seguito quanto appena discusso.

\[\quad\]

  • Consideriamo il caso in cui 0<m_1<m_2. Per entrambi i valori di m, f risulta crescente in [0,+\infty); si vede però che

    (7) \begin{equation*} m_1 x < m_2 x \qquad \forall x \in (0,+\infty), \end{equation*}

    ossia la funzione lineare avente parametro m_2 “cresce più rapidamente” di quella avente come parametro m_1.

    •  

  • Analogamente si vede , se m_2<m_1<0, la funzione avente come parametro m_2 “decresce più rapidamente” in [0,+\infty) di quella avente come parametro m_1.

 
 

Funzioni affini

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Un polinomio di grado 1 ha la forma P(x) = mx + q, dove per convenzione abbiamo indicato con m \neq 0 il coefficiente del termine di grado 1 e con q il coefficiente del termine di grado 0.

Definizione 5 (funzione affine). Una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è detta affine se esistono m,q \in \mathbb{R} con m \neq 0 tali che

(8) \begin{equation*} f(x) = mx+q \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Il numero reale m viene detto coefficiente angolare o pendenza, mentre il numero reale q viene detto termine noto.

\[\quad\]

In particolare, le costanti e le funzioni lineari sono particolari funzioni affini.


 
 

Grafici di funzioni affini

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Il grafico delle funzioni affini del tipo f(x)=mx + q si ottiene traslando verso l’alto o verso il basso (a seconda del segno di q) il grafico delle corrispondenti funzioni lineari di equazione f(x)=mx. Conviene pertanto studiare prima queste funzioni, in quanto i risultati ottenuti per esse si trasferiranno facilmente al caso di funzioni affini.

Consideriamo una funzione affine g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da g(x)=mx + q. Il grafico di g si ottiene traslando quello della funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x)=mx di un vettore (0,q). Le rette \Gamma_g e \Gamma_f sono quindi parallele, come mostrato in figura 4.

\[\quad\]

Figura 4: il grafico della funzione affine g definita da g(x)=mx+q si ottiene traslando il grafico della rispettiva funzione lineare di un vettore (0,q); esso quindi risulta essere la retta parallela al grafico della funzione definita da f(x)=mx e passante per il punto (0,q).

\[\quad\]

Notiamo che questa osservazione dimostra la seguente proprietà.

Definizione 6. Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione affine definita da f(x)=mx + q. Allora il grafico di f è una retta passante per il punto (0,q).

 
 

Ruolo del del termine noto

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Rivolgiamo ora la nostra attenzione al termine noto q. Dalla discussione relativa alla figura 4, segue che il grafico di una funzione affine g definita da g(x)=mx+q è una retta parallela al grafico della funzione f definita da f(x)=mx e passante per il punto (0,q). Pertanto il termine noto q determina il punto di intersezione tra la \Gamma_g e l’asse y.

Fissando m \in \mathbb{R} e al variare di q \in \mathbb{R}, si ottiene quindi un cosiddetto fascio improprio di rette, costituito dalle rette parallele al grafico della funzione lineare definita da f(x)=mx.

\[\quad\]

Figura 5: alcune delle rette appartenenti al fascio improprio di rette di equazione y=2x + q.


 
 

Proprietà delle funzioni affini

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Grazie alle osservazioni precedenti, possiamo ricavare le proprietà generali delle funzioni affini. Siano m,q \in \mathbb{R}, e consideriamo quindi una funzione affine f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x)=mx+q \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

Nel caso in cui m=0, la funzione è costante, le cui proprietà sono banali, pertanto assumiamo m \neq 0.

\[\quad\]

  • (Dominio.) Il dominio di f è \mathbb{R}.

    •  

  • (Simmetrie.) f è una funzione dispari se e solo se q=0 ossia se e solo se f è lineare, mentre f non è né pari né dispari se q \neq 0. Tali proprietà possono anche essere facilmente dedotte dalla figura 5 e/o da un’analisi del valore f(-x) per x \in \mathbb{R}.

    •  

  • (Periodicità.) La funzione f non è periodica.

    •  

  • (Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse y è il punto P=(0,q), mentre l’intersezione con l’asse x è unica ed è costituita dal punto Q=(-\frac q m,0).

    •  

  • (Segno.) La funzione f ha il seguente segno:

    \[f(x)=mx+q\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} x\geq -\frac q m, & \mbox{ se } m >0;\\ x \leq -\frac q m, & \mbox{ se } m <0. \end{cases}\]

    •  

  • (Intervalli di monotonia.) La funzione f è monotona strettamente crescente se m>0, ed è monotona strettamente decrescente se m<0. Infatti, se ad esempio m>0 si ha

    (9) \begin{equation*} x_1 < x_2 \quad \iff \quad mx_1 +q < mx_2 + q \quad \iff \quad f(x_1) < f(x_2), \end{equation*}

    da cui f è strettamente crescente. Analogamente si vede che f è strettamente decrescente se m<0.

    •  

  • (Immagine.) Poiché il grafico di f è una retta obliqua, si ha

    (10) \begin{equation*} \operatorname{Im} f = \mathbb{R}. \end{equation*}

    Infatti, sia y_0 \in \mathbb{R}; risolvendo l’equazione y_0=m x + q rispetto a x, si ottiene

    (11) \begin{equation*} y_0 = m x + q \qquad \iff \qquad x = \frac{y_0-q}{m}, \end{equation*}

    dunque

    (12) \begin{equation*} y_0 = m \frac{y_0-q}{m} + q \qquad \iff \qquad y_0 = f \left( \frac{y_0-q}{m} \right), \end{equation*}

    ovvero f è una funzione suriettiva.

    •  

  • (Invertibilità.) Per (11), si ha che f è invertibile ed esiste quindi la sua inversa f^{-1} \colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Dalla definizione di funzione inversa, per ogni y \in \mathbb{R} si ha che f^{-1}(y) coincide con l’unico numero reale x tale che f(x)=y. Quindi l’espressione di f^{-1} si ottiene ricavando x in funzione di y nell’espressione di g:

    (13) \begin{equation*} y= mx+q \iff x=\frac{y-q}{m}. \end{equation*}

    Da ciò si ottiene che f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è la funzione definita da

    (14) \begin{equation*} f^{-1}(y) = \frac{1}{m} y - \frac{q}{m} \qquad \forall y \in \mathbb{R}. \end{equation*}

    Da tale espressione si evince che anche f^{-1} è una funzione affine, avente coefficiente angolare e termine noto rispettivamente pari a \frac{1}{m} e -\frac{q}{m}.

Inoltre, vogliamo far notare al lettore che la composizione di di due funzioni affini è una funzione affine. Siano infatti f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni affini definite rispettivamente da

(15) \begin{equation*} f(x) = mx+q, \quad g(x) = m'x + q' \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Si ha che g \circ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è la funzione definita da

(16) \begin{equation*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) = m' \cdot f(x) + q' = m' (mx + q) + q' = (m'm) x + (m'q + q') \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

che è quindi affine avente coefficiente angolare e termine noto rispettivamente pari a m'm e m'q + q'.