Funzioni iperboliche

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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Le funzioni iperboliche associano, a un certo angolo, alcune quantità legate al settore che tale angolo determina su un’iperbole equilatera di equazione $x^2-y^2=1$ . In particolare, il seno iperbolico della quantità $t$ rappresenta l’ordinata dell’intersezione tra una semiretta che determina un settore iperbolico di area $t$ e la suddetta iperbole. Il coseno iperbolico rappresenta invece l’ascissa di tale intersezione. In analogia con le funzioni goniometriche, è possibile definire anche le altre funzioni iperboliche, che tratteremo in questo articolo, illustrandone le definizioni e le proprietà principali. Tratteremo inoltre le funzioni iperboliche inverse che, a partire dalle quantità geometriche sopra indicate, forniscono l’area del settore iperbolico che le ha generate.

Funzioni iperboliche

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In questa sezione introduciamo una famiglia di funzioni nota come funzioni iperboliche. In analogia con le funzioni trigonometriche, note anche come funzioni circolari, che emergono come parametrizzazione naturale della circonferenza unitaria, vedremo che le funzioni iperboliche sono strettamente collegate alle iperboli, nel senso che esse forniscono una parametrizzazione naturale di un ramo dell’iperbole equilatera di semiassi unitari, cf. proposizione 4, ovvero dell’insieme

$\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \colon x>0, \; x^2-y^2=1\right\}.$

Definizione 1 (Seno e Coseno iperbolici). Definiamo

$\quad$

coseno iperbolico la funzione $\cosh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} \cosh x \coloneqq \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

seno iperbolico la funzione $\sinh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(2) $\begin{equation*} \sinh x \coloneqq \dfrac{e^x- e^{-x}}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Notiamo che esistono forme alternative per esprimere le funzioni iperboliche, ottenute raccogliendo uno dei fattori al numeratore. Ad esempio

(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cosh x &= \frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}, \\ \sinh x & = \frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Una proprietà delle funzioni iperboliche, che risulta evidente dalla definizione, è la seguente.

Lemma 2. La funzione coseno iperbolico (risp. seno iperbolico) è pari (risp. dispari).

$\quad$

Dimostrazione. Ricordiamo che ogni funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ può essere decomposta in maniera unica come somma di una funzione pari $f_p$ (detta la parte pari di $f$ ) e di una funzione dispari $f_d$ (detta la parte dispari di $f$ ). Si vede facilmente dalla definizione che la funzione coseno iperbolico (risp. seno iperbolico) è la parte pari (risp. dispari) della funzione esponenziale

$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=e^x.$

Dalle funzioni seno e coseno iperbolico, analogamente a quanto visto per le funzioni trigonometriche, si ricavano una serie di funzioni “derivate” da queste.

Definizione 3. Definiamo

$\quad$

Tangente iperbolica la funzione $\tanh:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(4) $\begin{equation*} \tanh x \coloneqq \frac{\sinh x}{\cosh x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

Cotangente iperbolica la funzione $\coth:\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$ , definita da

(5) $\begin{equation*} \coth x \coloneqq \frac{\cosh x}{\sinh x}= \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} \qquad \forall x \neq 0. \end{equation*}$

Secante iperbolica la funzione $\operatorname{sech}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(6) $\begin{equation*} \operatorname{sech} x \coloneqq \frac{1}{\cosh x}= \frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}} \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

Cosecante iperbolica la funzione $\operatorname{csch}: \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$ , definita da

(7) $\begin{equation*} \operatorname{csch} x \coloneqq \frac{1}{\sinh x}= \frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}} \qquad \forall x \neq 0; \end{equation*}$

Formule iperboliche

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Proposizione 4 (Relazione fondamentale). Si ha

(8) $\begin{equation*} \cosh^2 x -\sinh^2 x =1, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Questa prima relazione è una riformulazione equivalente del fatto, già menzionato, che le funzioni iperboliche parametrizzano il ramo di iperbole contenuto nel semipiano $\left\{ x>0 \right\}$ . Da un calcolo diretto, otteniamo

(9) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cosh^2 x -\sinh^2 x &= \left( \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2} \right) ^2 - \left( \dfrac{e^x- e^{-x}}{2} \right)^2=\\ &=\frac{e^{2x}+2+ e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2+ e^{-2x}}{4}=1. \end{aligned} \end{equation*}$

Proposizione 5 (Formule di addizione). Si ha

$\quad$

(Coseno iperbolico)
$\cosh(x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Seno iperbolico)
$\sinh(x+y)=\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Tangente iperbolica)
$\tanh(x+y)=\frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y}, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

$\quad$

Dimostrazione. La dimostrazione segue da un calcolo diretto e dunque mostriamo soltanto la prima delle identità, lasciando le altre al lettore come utile esercizio. Abbiamo

$\begin{aligned} \cosh (x+y)&= \dfrac{e^{x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\dfrac{e^{x+y}\pm e^{x-y}\pm e^{-x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x+y}+ e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y} - e^{x-y}-e^{-x+y} \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x}(e^y+ e^{-y}) + e^{-x}(e^y+ e^{-y})- (e^{x-y}+e^{-(x-y)}) \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( (e^{x} + e^{-x})(e^y+ e^{-y})- 2\cosh (x-y) \right) \end{aligned}$

che implica che

$\cosh(x+y)+ \cosh(x-y)=\frac{1}{2}\left( (e^{x} + e^{-x})(e^y+ e^{-y})\right)= 2\cosh x \cosh y.$

Inoltre,

$\begin{aligned} \cosh (x+y)&= \dfrac{e^{x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\dfrac{e^{x+y}\pm e^{x-y}\pm e^{-x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x+y}- e^{x-y} - e^{-x+y}+ e^{-x-y} +e^{x-y}+e^{-x+y} \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x}(e^y- e^{-y}) - e^{-x}(e^y- e^{-y})+ (e^{x-y}-e^{-(x-y)}) \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( (e^{x} - e^{-x})(e^y- e^{-y})+ 2\cosh (x-y) \right), \end{aligned}$

che implica che

$\cosh(x+y)- \cosh(x-y)=\frac{1}{2}\left( (e^{x} - e^{-x})(e^y- e^{-y})\right)= 2\sinh x \sinh y.$

Infine, risolvendo il sistema¹

$\begin{cases} \cosh(x+y)+ \cosh(x-y)=2\cosh x \cosh y \\ \cosh(x+y)- \cosh(x-y)=2\sinh x \sinh y, \end{cases}$

rispetto alle variabili $\cosh x, \cosh y$ , troviamo

$\begin{cases} \cosh(x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\\ \cosh(x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y. \end{cases}$

Corollario 6 (Formule di sottrazione). Si ha

$\quad$

(Coseno iperbolico)
$\cosh(x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Seno iperbolico)
$\sinh(x-y)=\sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Tangente iperbolica)
$\tanh(x-y)=\frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y}, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

$\quad$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare le formule di duplicazione. Si ha

$\quad$

(Coseno iperbolico)
$\cosh(2x)=\cosh^2 x + \sinh^2 x, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

(Seno iperbolico)
$\sinh(2x)=2\sinh x \cosh x, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

(Tangente iperbolica)
$\tanh(2x)=\frac{2\tanh x}{1+ \tanh ^2x }, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

$\quad$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare le formule di bisezione. Si ha

$\quad$

(Coseno iperbolico)
$\cosh\left( \frac{x}{2} \right)=\sqrt{\dfrac{\cosh x +1}{2}}, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

(Seno iperbolico)
$\sinh\left( \frac{x}{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{\cosh x -1}{2}},, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

(Tangente iperbolica)
$\tanh \left( \frac{x}{2} \right)=\frac{\cosh x-1}{\sinh x }, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

oppure,

$\tanh \left( \frac{x}{2} \right)=\frac{\sinh x}{\cosh x +1}, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

$\quad$

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare le formule di Werner iperboliche: per ogni $x,y\in \mathbb{R}$ , si ha

(10) $\begin{equation*} \begin{split} \sinh x\sinh y& =\frac 12 \left( \cosh(x+y)-\cosh(x-y) \right), \\ \cosh x\cosh y&=\frac 12 \left( \cosh(x+y)+\cosh(x-y) \right),\label{IW2} \\ \sinh x\cosh y&=\frac 12 \left( \sinh(x+y)+\sinh(x-y) \right).\label{IW3} \end{split} \end{equation*}$

$\quad$

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare le formule di prostaferesi iperboliche: per ogni $x,y\in \mathbb{R}$ , si ha

$\quad$

(Seno iperbolico)

(11) $\begin{equation*} \begin{split} &\sinh x+\sinh y=2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right), \\ &\sinh x-\sinh y=2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right).\label{IP2} \end{split} \end{equation*}$

(Coseno iperbolico)

(12) $\begin{equation*} \begin{split} &\cosh x+\cosh y=2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right), \\ &\cosh x-\cosh y=2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right). \label{IP4} \end{split} \end{equation*}$

Ad esempio, sommando e sottraendo le due equazioni e dividendo per 2. ↩

La funzione seno iperbolico

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Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\sinh x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari:
$\sinh(-x)=-\sinh(x).$

Ciò si vede da un calcolo diretto:

$\sinh(-x)= \dfrac{e^{-x}- e^{-(-x)}}{2}=-\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}=-\sinh x.$

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ , che è anche l’intersezione con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione
$\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}=0 \quad \iff \quad e^x=e^{-x}\quad \iff \quad e^{2x}=1$

ha come unica soluzione $x=0$ .

(Segno.) Il segno della funzione seno iperbolico si trova risolvendo la disequazione
$\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}\geq 0 \quad \iff \quad e^{2x}\geq 1.$

La soluzione è

$x \geq 0.$

(Immagine.) L’immagine della funzione seno iperbolico è
$\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia. L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione seno iperbolico è invertibile e la sua inversa è detta arcoseno iperbolico e indicata con { $\mathrm{arsinh}$ }.

Possiamo infine rappresentare l’andamento del seno iperbolico su un piano cartesiano.

$\quad$

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Figura 1: Una porzione del grafico della funzione $f(x)=\sinh x$ .

La funzione coseno iperbolico

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Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\cosh x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari:
$\cosh(-x)=\cosh(x).$

Ciò si vede da un calcolo diretto:

$\cosh(-x)= \dfrac{e^{-x}+ e^{-(-x)}}{2}=\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}=\cosh x.$

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,1)$ , mentre non ci sono intersezioni con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione
$\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}=0 \quad \iff \quad e^x=-e^{-x}\quad \iff \quad e^{2x}=-1$

non ha soluzione.

(Segno.) Il segno della funzione coseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione
$\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}\geq 0 \quad \iff \quad e^{2x}\geq -1.$

La soluzione è

$x \in \mathbb{R}.$

(Immagine.) L’immagine della funzione coseno iperbolico è
$\operatorname{Im}(f)=[1,+\infty).$

L’inclusione $``\subseteq''$ segue da un calcolo diretto:

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}\geq 1 \quad \iff \quad e^x+ \dfrac{1}{e^x}\geq 2 \\ & e^{2x}-2e^x+ 1\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} t=e^x\\ t^2-2t+1 \geq 0 \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Poiché $t^2-2t+1=(t-1)^2 \geq 0$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ , la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$ . L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e illimitata superiormente:

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=1 \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione coseno iperbolico è invertibile e la sua inversa è detta arcocoseno iperbolico e indicata con { $\mathrm{arcosh}$ }.

Possiamo infine rappresentare l’andamento del coseno iperbolico su un piano cartesiano.

$\quad$

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Figura 2: Una porzione del grafico della funzione $f(x)=\cosh x$ .

$\quad$

Lasciamo al lettore il compito di tracciare un grafico approssimativo delle funzioni iperboliche ottenute a partire dal seno e coseno iperbolici, cf. definizione 3.

$\quad$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tracciare un grafico approssimativo delle funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante iperbolici.

Funzioni iperboliche inverse

Introduzione.

Abbiamo visto che le funzioni seno e coseno iperbolici risultano invertibili se ristrette a un sottoinsieme del dominio. In questa sezione studiamo i grafici delle corrispondenti funzioni inverse.

Le restrizioni delle funzioni agli intervalli appropriati verranno denotate con

$f^*=f|_{\text{Dominio di invertibilità}}.$

Abbiamo dunque:

(13) $\begin{equation*} \begin{split} &\sinh^*\equiv \sinh: \mathbb{R}\to \mathbb{R},\\ &\cosh^*: x \in [0,+\infty) \mapsto \cosh x \in [1,+\infty). \end{split} \end{equation*}$

Teorema 12 (Funzioni iperboliche inverse). Le funzioni $\sinh^*, \cosh^*$ definite in (13), ottenute restringendo $\mathrm{sinh, cosh}$ agli opportuni domini, sono invertibili. Chiamiamo arcoseno iperbolico e arcocoseno iperbolico (denotate rispettivamente $\mathrm{arsinh, arcosh}$ ) le funzioni inverse delle funzioni $\sinh^*, \cosh^*$ , rispettivamente. Inoltre, valgono le seguenti uguaglianze:

$\quad$

$\operatorname{settsinh} x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$ ;

$\operatorname{settcosh} x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}) \qquad \forall x \geq 1$ .

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo prima l’invertibilità del seno iperbolico, ovvero mostriamo che, dato $y \in \mathbb{R}$ , esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che

$\sinh x =y.$

Ricordando la forma (3), otteniamo l’equazione

$\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=y \quad \iff \quad e^{2x}-2ye^x-1=0.$

Ponendo $t\coloneqq e^x$ , l’ultima equazione si può riscrivere come

$t^2-2yt-1=0,$

che ha soluzione per ogni $y\in \mathbb{R}$ , in quanto $\Delta = 4y^2+4>0$ . Troviamo dunque

$t_{1,2}= y \pm \sqrt{y^2+1}.$

La soluzione $t=y - \sqrt{y^2+1}$ è negativa e dunque è da escludere in quanto per definizione $t=e^x>0$ . Troviamo dunque che

$\sinh x =y \quad \iff \quad e^x=y+\sqrt{y^2+1} \quad \iff \quad x=\ln(y+\sqrt{y^2+1}).$

Mostriamo ora l’invertibilità del coseno iperbolico, ovvero mostriamo che, dato $y \geq 1$ , esiste un unico $x \geq 0$ tale che

$\cosh x =y.$

Ricordando la forma (3), otteniamo l’equazione

$\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=y \quad \iff \quad e^{2x}-2ye^x+1=0.$

Ponendo $t\coloneqq e^x$ , l’ultima equazione si può riscrivere come

$t^2-2yt+1=0,$

che ha soluzione per ogni $y\geq 1$ , in quanto $\Delta = 4y^2-4 \geq 0$ . Troviamo dunque

$t_{1,2}= y \pm \sqrt{y^2-1}.$

Le soluzioni sono distinte per $y \neq 1$ . In questo caso, osserviamo che la soluzione $t=y - \sqrt{y^2-1}$ è da escludere in quanto

(14) $\begin{equation*} y - \sqrt{y^2-1} <1 \end{equation*}$

e per definizione $t=e^x \geq 1$ per ogni $x\geq 0$ . La (14) può essere dimostrata con un calcolo diretto:

$y < \sqrt{y^2-1} +1 \quad \iff \quad y^2 < y^2-1 +1 +2\sqrt{y^2-1} \quad \iff \quad \sqrt{y^2-1} >0 \quad \iff \quad |y| >1.$

Troviamo dunque che

$\cosh x =y \quad \iff \quad e^x=y+\sqrt{y^2-1} \quad \iff \quad x=\ln(y+\sqrt{y^2-1}).$

Elenchiamo di seguito le proprietà delle funzioni iperboliche inverse. Tali proprietà possono essere dedotte direttamente dalle proprietà del seno e del coseno iperbolici viste finora.

La funzione arcoseno iperbolico.

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\operatorname{settsinh} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) Si ha che $f$ non è nè pari nè dispari. Ciò si vede da un calcolo diretto, ricordando l’espressione \eqref{eq:inverse_sinh}:

$\operatorname{settsinh}(-x)= \ln(-x+\sqrt{(-x)^2+1}) \neq \begin{cases} \ln(x+\sqrt{x^2+1}), \\ -\ln(x+\sqrt{x^2+1}). \end{cases}.$

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ , che è anche l’intersezione con l’asse $x$ .

(Segno.) Il segno della funzione arcoseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione
$\ln(x+\sqrt{x^2+1})\geq 0 \quad \iff \quad x+\sqrt{x^2+1}\geq 1,$

dunque troviamo

$\sqrt{x^2+1} \geq 1-x \quad \iff \quad x^2+1 \geq 1+x^2-2x,$

la cui soluzione è

$x \geq 0.$

(Immagine.) L’immagine della funzione arcoseno iperbolico è
$\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.$

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione arcoseno iperbolico è invertibile e la sua inversa è il seno iperbolico.

Possiamo infine rappresentare l’andamento dell’arcoseno iperbolico su un piano cartesiano.

$\quad$

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: Una porzione del grafico della funzione $f(x)=\operatorname{settsinh} x$ .

$\quad$

La funzione arcocoseno iperbolico.

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\operatorname{settcosh} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $[1,+\infty)$ .

(Simmetrie.) La funzione $f$ non può essere nè pari nè dispari, in quanto il suo dominio non è simmetrico rispetto lo 0.

(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.

(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(1,0)$ , mentre non c’è intersezione con l’asse $x$ .

(Segno.) Il segno della funzione arcocoseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione
$\ln(x+\sqrt{x^2-1})\geq 0 \quad \iff \quad x+\sqrt{x^2-1}\geq 1,$

dunque troviamo

$\sqrt{x^2-1} \geq 1-x \quad \iff \quad x^2-1 \geq 1+x^2-2x,$

la cui soluzione è

$x \geq 1.$

(Immagine.) L’immagine della funzione arcocoseno iperbolico è
$\operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).$

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$