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Funzioni iniettive, suriettive, biettive

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni iniettive, suriettive e biettive sono dei particolari tipi di funzioni. La definizione di funzione si focalizza sugli elementi del dominio: a ogni elemento del dominio è associato un solo elemento del codominio. Essa non fornisce però alcuna condizione sul codominio: dato un elemento del codominio, a quanti elementi del dominio esso è associato? Le nozioni di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva servono proprio per evidenziare le funzioni che possiedono proprietà particolari da questo punto di vista del codominio: una funzione è detta iniettiva se ogni elemento del codominio è associato ad al più un elemento del dominio; è detta suriettiva se ogni elemento del codominio è associato ad almeno un elemento del dominio; infine una funzione è detta biettiva se ciascun elemento del codominio è associato a uno e un solo elemento del dominio.

In questo articolo presentiamo le definizioni formali di questi concetti, ne illustriamo il significato intuitivo con esempi, figure e le forniamo le proprietà principali.


 
 

Funzioni iniettive, suriettive, biettive

In questa sezione introduciamo i concetti fondamentali di iniettività, suriettività e biettività.

Definizione 1. Siano E,F due insiemi. Una funzione f:E\to F si dice

\[\quad\]

  • iniettiva se, per ogni x, y \in E, f(x)=f(y) implica x=y (oppure, equivalentemente x\neq y implica f(x)\neq f(y)).

    •  

  • suriettiva se l’immagine di f è tutto il codominio, ovvero {\rm Im}(f)=F (oppure, equivalentemente \forall \,y\in F \exists \, x\in E tale che y=f(x)).

    •  

  • biettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

\[\quad\]

Prima di fornire qualche esempio esplicito per le funzioni reali, mostriamo in figura 1 dei diagrammi che spiegano l’idea intuitiva dietro alla definizione di iniettività, suriettività e biettività.

Rendered by QuickLaTeX.com

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Figura 1: esempi grafici di iniettività, di suriettività e di biettività.

Osservazione 2. Esiste una caratterizzazione grafica dell’iniettività e della suriettività. Infatti, rappresentando una funzione f \colon E \to F come un grafico nel piano cartesiano si hanno le seguenti proprietà

\[\quad\]

  • f è iniettiva se e solo se ogni retta parallela all’asse x di equazione y=y_0 interseca il grafico di f in al più un punto, la cui ascissa è l’eventuale x_0 \in{\rm Dom}(f) tale che f(x_0)=y_0.

    •  

  • f è suriettiva se e solo se ogni retta parallela all’asse x di equazione y=y_0 con y_0 \in F interseca \Gamma_ f in almeno un punto, le cui ascisse coincidono con gli x \in {\rm Dom}( f) tali che f(x)=y_0.

    •  

  • f è biettiva se e solo se ogni retta parallela all’asse x di equazione y=y_0 con y_0 \in F interseca \Gamma_f in esattamente un punto, la cui ascissa è l’unico x_0 \in {\rm Dom}(f) tale che f(x_0)=y_0.

    •  
    Si possono caratterizzare le proprietà di iniettività, suriettività e biettività in termini di controimmagini, come mostra la seguente proposizione, che è una traduzione in termini formali dell’osservazione 1.

    Proposizione 3. Sia f \colon E \to F una funzione. Allora valgono le seguenti caratterizzazioni:

    \[\quad\]

    1. f è iniettiva se e solo se, per ogni y \in F, f^{-1}(\{y \}) è un insieme costituito da al più un elemento;

      2.  

    2. f è suriettiva se e solo se

      (1) \begin{equation*} \forall y \in F \quad f^{-1}(\{y \}) \neq \emptyset; \end{equation*}

      3.  

    3. f è biettiva se e solo se

      (2) \begin{equation*} \forall y \in F \quad \# f^{-1}(\{y \}) = 1. \end{equation*}

    \[\quad\]

    Dimostrazione.

    1. f è iniettiva se e solo se ogni elemento y \in F è immagine di al più un elemento del dominio, quindi, per definizione di controimmagine, se e solo se per ogni y \in F, f^{-1}(\{y \}) è un insieme costituito da al più un elemento;

      2.  

    2. f è suriettiva se e solo se ogni elemento y \in F è immagine di almeno un elemento del dominio, quindi, per definizione di controimmagine, se e solo se, per ogni y \in F, f^{-1}(\{y \}) \neq \emptyset.

      3.  

    3. Unendo i due punti precedenti, si ha che f è biettiva se e solo se, per ogni y \in F, f^{-1}(\{y \}) è non vuoto e costituito al più da un elemento, quindi f^{-1}(\{y \}) è costituito da esattamente un elemento, come afferma l’enunciato.

    Osservazione 4. La formula (2) può essere riscritta come

    (3) \begin{equation*} \forall y \in F \quad \exists! x \in E \colon f^{-1}(\{y \}) = \{x\}, \end{equation*}

    la quale assomiglia moltissimo all’equazione che definisce una funzione. In (2), però, F sembra giocare il ruolo di dominio, mentre E quello del codominio. La proposizione 3 sembrerebbe cioè suggerire che, data una funzione f \colon E \to F biunivoca, si possa definire una funzione g \colon F \to E che a ogni y \in F associ l’unico elemento x \in E dell’insieme f^{-1}(\{y \}).
    Tale intuizione è corretta, come si può vedere nell’articolo corrispondente.