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Funzioni arcotangente e arcocotangente

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni arcotangente e arcocotangente sono le funzioni inverse di opportune restrizioni rispettivamente della tangente e della cotangente. Infatti, tali funzioni sono periodiche, e quindi non iniettive. Ciononostante, restringendo il dominio a un intervallo di ampiezza \pi, esse risultano iniettive (e suriettive) e quindi di conseguenza sono invertibili. Le funzioni arcotangente e arcocotangente sono quindi proprio le rispettive inverse, che associano a un certo valore della tangente e della cotangente l’angolo che le ha generate.

In questo articolo presentiamo queste funzioni, ne illustriamo le proprietà fondamentali, ne discutiamo le relazioni, accompagnandole con numerosi grafici e figure e dimostriamo vari semplici modi la famosa relazione

(1) \begin{equation*} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \qquad \forall x <0. \end{equation*}

 
 

Funzione arcotangente

Figura 1: grafico della funzione \tan.

\[\quad\]

Come si vede dalla figura 1, la restrizione della funzione \tan all’intervallo \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) è strettamente crescente e quindi è iniettiva. Abbiamo già visto che l’immagine di tale restrizione è \mathbb{R} e quindi la funzione

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{split} & f \colon \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) \to \mathbb{R} \\ & f(t) = \tan t \end{split} \qquad \text{è invertibile.} } \end{equation*}

Cioè, per ogni y_0 \in \mathbb{R}, esiste un unico t \in \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) tale che \tan t=y_0, come si evince dalla figura 2. Questo t è detto arcotangente di y_0:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ t = \arctan y_0 = \tan^{-1} y_0 } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 2: l’arcotangente di un numero reale y_0 \in \mathbb{R} è l’unico arco di circonferenza t \in \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) tale che \tan t=y_0.

\[\quad\]

La funzione f^{-1}, che a ogni x \in \mathbb{R} associa la sua arcotangente, è detta appunto funzione arcotangente:

(4) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \begin{split} &f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ) \\ & f^{-1}(y) = \arctan y. \end{split} } \end{equation*}

Si può dire che

\[\quad\]

l’arcotangente è l’inversa della funzione f in (2), cioè della restrizione della funzione \tan all’intervallo \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ).

\[\quad\]

Il grafico della funzione \arctan si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione \tan nell’intervallo \left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ), ed è rappresentato in figura 3.

\[\quad\]

Figura 3: grafico della funzione \arctan.

\[\quad\]

Si può vedere, dai segni della funzione tangente, che

(5) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \arctan y \, \begin{cases} \geq 0 & \text{se } y \in [0,+\infty) \\[6pt] <0 & \text{se } y \in (-\infty,0). \end{cases} } \end{equation*}

Ciò prova in particolare che la funzione \arctan non è periodica; tale conclusione si poteva ottenere anche in quanto essa è invertibile, poiché è a sua volta inversa di una funzione.

La funzione \arctan è dispari ed è strettamente crescente in quanto inversa di una funzione crescente; inoltre si vede che

(6) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \lim_{y \to - \infty} \arctan y = -\frac{\pi}{2}, } \qquad \boxcolorato{analisi}{ \lim_{y \to + \infty} \arctan y = \frac{\pi}{2}. } \end{equation*}

Fissato x>0, i triangoli rettangoli OAQ e RBO in figura 4 sono simili; dunque

(7) \begin{equation*} \dfrac{\overline{AQ}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{OB}}{\overline{RB}} \quad \implies \quad \overline{AQ} = \frac{1}{x} \end{equation*}

e, dato che \arctan \left (\overline{AQ} \right ) + \arctan \left ( \overline{BR} \right ) = \frac{\pi}{2}, si ottiene la famosa identità

(8) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \qquad \forall x >0. } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 4: fissato R=(x,1), invertendo gli assi x e y si vede che l’arco BP è l’arcotangente di x. D’altra parte il punto Q, ottenuto dall’intersezione della retta OR con la retta x=1, ha coordinate \left (1,\frac{1}{x} \right ). L’arco AP è dunque l’arcotangente di \frac{1}{x}.

\[\quad\]

In alternativa, (8) può anche essere dimostrata osservando un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 1 e x, rappresentato in figura 5:

\[\quad\]

Figura 5: nel triangolo rettangolo OAB, \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}; inoltre \alpha= \arctan \frac{1}{x} e \beta = \arctan x.

\[\quad\]

Come abbiamo visto in (??), vale

(9) \begin{gather*} \tan \alpha = \frac{\overline{AB}}{\overline{OA}} = \frac{1}{x} \quad \implies \quad \alpha = \arctan \frac{1}{x}, \\[5pt] \tan \beta = \frac{\overline{OA}}{\overline{AB}} = x \quad \implies \quad \beta = \arctan x. \end{gather*}

Da \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, si giunge a (8).
Analogamente si può provare che

(10) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \qquad \forall x <0. } \end{equation*}

 
 

Funzione arcocotangente

Figura 6: grafico della funzione \cot.

\[\quad\]

Dalla figura 6 è chiaro che la restrizione della funzione \cot all’intervallo \left (0,\pi\right ) è strettamente decrescente e quindi è iniettiva. L’immagine di tale restrizione è \mathbb{R} e quindi la funzione

(11) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{split} & f \colon \left (0,\pi\right ) \to \mathbb{R} \\ & f(t) = \cot t \end{split} \qquad \text{è invertibile.} } \end{equation*}

Cioè, per ogni x_0 \in \mathbb{R}, esiste un unico t \in \left (0,\pi\right ) tale che \cot t=x_0, si veda la figura 7. Questo t è detto arcocotangente di x_0:

(12) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ t = \operatorname{arccot} x_0 = \cot^{-1} x_0. } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 7: l’arcocotangente di x_0 \in \mathbb{R} è l’unico arco di circonferenza t \in \left (0,\pi\right ) tale che \cot t=x_0.

\[\quad\]

La funzione f^{-1}, che a ogni x \in \mathbb{R} associa la sua arcocotangente è detta funzione arcocotangente:

(13) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{split} & f^{-1} \colon \mathbb{R} \to (0,\pi) \\ & f^{-1}(x) = \operatorname{arccot} x. \end{split} } \end{equation*}

Vale quindi:

\[\quad\]

l’arcocotangente è l’inversa della funzione f in (11), cioè della restrizione della funzione \cot all’intervallo \left (0,\pi \right ).

\[\quad\]

Il grafico della funzione \operatorname{arccot} si ottiene, come le altre funzioni inverse, invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione \cot nell’intervallo \left (0,\pi\right ), ed è rappresentato in figura 8.

\[\quad\]

Figura 8: grafico della funzione \operatorname{arccot}.

\[\quad\]

La funzione \operatorname{arccot} non è periodica per gli stessi motivi della funzione \arctan.
Dalla definizione e dal grafico segue

(14) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \operatorname{arccot} x \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} } \end{equation*}

e inoltre

(15) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to - \infty} \operatorname{arccot} x = \pi, } \qquad\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to + \infty} \operatorname{arccot} x = 0. } \end{equation*}

Dalla figura 9 si ottiene la relazione

(16) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} -\arctan x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 9: l’arco AP è l’arcocotangente di x; nella figura a destra, invece, invertendo gli assi x e y, si vede che l’arco BP è l’arcotangente di x. Dato che AB= \frac{\pi}{2}, si ottiene \arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}.

\[\quad\]

Se x >0, si ha

(17) \begin{equation*} \frac{1}{x} = \dfrac{1}{\cot \left ( \operatorname{arccot} x \right )} = \tan \left ( \operatorname{arccot} x \right ) \quad \overset{\operatorname{arccot} x \in \left (0, \frac{\pi}{2} \right )}{\implies} \quad \arctan \frac{1}{x} = \operatorname{arccot} x. \end{equation*}

Inserendo in (16), si ottiene un’altra dimostrazione di (8).