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Funzioni arcocoseno e arcoseno

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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Le funzioni arcocoseno e arcoseno sono le inverse di opportune restrizioni delle funzioni goniometriche rispettivamente coseno e seno. Infatti, come si può notare dai grafici di figura 1, tali funzioni sono iniettive e suriettive se ristrette ad alcuni intervalli del dominio e del codominio, e quindi tali “porzioni” possono essere invertite. Esse quindi, a un certo valore del coseno e del seno, associano uno degli archi che ha generato tale valore.

In questo articolo definiamo quindi queste funzioni arcocoseno e arcoseno, oltre a spiegarne e illustrarne il significato con numerose figure.

\[\quad\]

Figura 1: grafici delle funzioni \cos e \sin.

\[\quad\]


 
 

Funzione arcocoseno

Come si vede dalla figura 1, la restrizione della funzione \cos all’intervallo [0,\pi ] è strettamente decrescente e quindi è iniettiva. L’immagine di tale restrizione è [-1,1] e quindi la funzione

(1) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \begin{split} &f \colon \left [0,\pi\right ] \to [-1,1] \\ & f(t) = \cos t \end{split} \qquad \text{è invertibile.} } \end{equation*}

Cioè, per ogni x_0 \in [-1,1], esiste un unico t \in \left [0,\pi\right ] tale che \cos t=x_0, come si evince dalla figura 2. Questo t è detto arcocoseno di x_0:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ t = \arccos x_0 = \cos^{-1} x_0. }\end{equation*}

\[\quad\]

Figura 2: l’arcocoseno di un numero reale x_0 \in [-1,1] è l’unico arco t \in \left [0,\pi \right ] tale che \cos t=x_0.

\[\quad\]

La funzione inversa di f, che a ogni x \in [-1,1] associa il suo arcocoseno, è detta appunto funzione arcocoseno:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{split} &f^{-1} \colon [-1,1] \to \left [0,\pi\right ] \\ & f^{-1}(x) = \arccos x. \end{split} } \end{equation*}

In altre parole:

\[\quad\]

l’arcocoseno è l’inversa della funzione f in (1), ossia della restrizione della funzione \cos all’intervallo \left [0,\pi\right ] e il cui codominio è ristretto a [-1,1].

\[\quad\]

Il grafico della funzione \arccos si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione \cos nell’intervallo \left [0,\pi\right ], ed è rappresentato in figura 3.

\[\quad\]

Figura 3: grafico della funzione \arccos.

\[\quad\]

Rimarchiamo che, per definizione, l’argomento dell’arcocoseno deve essere compreso tra -1 e 1, dunque una scrittura del tipo \arccos 2 è priva di significato (il coseno di nessun arco è 2). Inoltre, l’arcocoseno assume valori compresi tra 0 e \pi; in particolare, la funzione è sempre positiva.

La funzione \arccos è decrescente in quanto inversa di una funzione decrescente; inoltre essa non è periodica, ad esempio perché il suo dominio non è \mathbb{R}, oppure dato che essa è invertibile poiché inversa di un’altra funzione, mentre le funzioni periodiche non sono iniettive.

 
 

Funzione arcoseno

Dalla definizione, la restrizione della funzione \sin all’intervallo \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] è strettamente crescente e quindi è iniettiva. Allo stesso modo in cui si vede che \operatorname{Im}\sin=[-1,1], si mostra anche l’immagine di tale restrizione è [-1,1]. Quindi la funzione

(4) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ \begin{split} &f \colon \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \to [-1,1] \\ & f(t) = \sin t %\colon t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \mapsto \sin t \in [-1,1] \end{split} \qquad \text{è invertibile.} } \end{equation*}

In altre parole, dato y_0 \in [-1,1], esiste un unico t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] tale che \sin t=y_0, come mostrato in figura 4. Questo t è detto arcoseno di y_0:

(5) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{ t = \arcsin y_0 = \sin^{-1} y_0 } \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 4: l’arcoseno di un numero reale y_0 compreso tra -1 e 1 è l’unico arco t \in \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] tale che \sin t=y_0.

\[\quad\]

La funzione f^{-1}, che a ogni y \in [-1,1] associa il suo arcoseno, è detta appunto funzione arcoseno:

(6) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \begin{split} & f^{-1} \colon [-1,1] \to \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \\ & f^{-1}(y)= \arcsin y. \end{split} } \end{equation*}

In altre parole:

\[\quad\]

l’arcoseno è l’inversa della funzione f in (4), ossia della restrizione della funzione \sin all’intervallo \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] e il cui codominio è ristretto a [-1,1].

\[\quad\]

Il suo grafico si ottiene invertendo gli assi nella porzione di grafico della funzione \sin nell’intervallo \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ], ed è rappresentato in figura 5.

\[\quad\]

Figura 5: grafico della funzione \arcsin.

\[\quad\]

Anche in questo caso sottolineiamo che, dalla definizione, è chiaro che l’argomento dell’arcoseno deve essere compreso tra -1 e 1 e che i valori assunti dall’arcoseno sono compresi tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}.

La funzione \arcsin è dispari, è crescente in quanto inversa di una funzione crescente e non è periodica per gli stessi motivi della funzione \arccos.