Funzione segno

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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La funzione segno è un tipo molto semplice di funzione che assume valore $1$ quando l’argomento è positivo e $-1$ quando l’argomento è negativo. Essa consente di tradurre in forma simbolica il segno di un numero reale e infatti le sue proprietà sono naturalmente una conseguenza delle proprietà dei segni nell’algebra dei numeri reali.

In questo articolo definiamo la funzione segno e ne illustriamo le proprietà fondamentali con esempi e figure.

La funzione segno

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Con il termine funzione segno indichiamo la funzione che, come suggerisce il nome, restituisce il segno del numero reale che ha per argomento.

Definizione 1 (funzione segno). Si definisce funzione segno la funzione $\operatorname{sgn} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} \operatorname{sgn} x= \begin{cases} -1, &\text{se } x<0;\\ 0, &\text{se } x=0;\\ 1, &\text{se } x>0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Il grafico della funzione $\operatorname{sgn}$ è rappresentato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: grafico della funzione $\operatorname{sgn}$ .

$\quad$

si può scrivere la funzione $\operatorname{sgn}$ come combinazione di funzioni pesate con funzioni caratteristiche; infatti si ha

(2) $\begin{equation*} \operatorname{sgn} = \mathbf{1}_{[0,+\infty)}- \mathbf{1}_{(-\infty,0]}. \end{equation*}$

Osservazione 2. Notiamo che il segno del numero reale $0$ non è ben definito. Per questo motivo, alcuni autori preferiscono definire la funzione segno su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ invece che su $\mathbb{R}$ , mentre altri utilizzano la convenzione che $\operatorname{sgn} (0)=1$ . Noi abbiamo scelto di utilizzare la convenzione $\operatorname{sgn}(0)=0$ per ragioni di simmetria e semplicità.

La funzione segno può essere utilizzata nei calcoli per ottenere un’espressione che cambia segno in base al valore di un parametro; ad esempio si ha

(3) $\begin{equation*} f(x)=x^2 \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} x^2, & \text{se } x \geq 0;\\ -x^2, & \text{se } x < 0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla regola dei segni, segue immediatamente il prossimo risultato.

Lemma 3. Siano $f,g: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ due funzioni. Allora, vale che

(4) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(f\cdot g)= \operatorname{sgn}(f)\cdot \operatorname{sgn}(g). \end{equation*}$

$\quad$

Infine, segue dal lemma precedente che la funzione segno è idempotente, ovvero

(5) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(\operatorname{sgn} x)=\operatorname{sgn} x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Proprietà della funzione segno

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Enunciamo ora delle semplici proprietà della funzione definita da (1) e del suo grafico, cf. figura 1.

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione segno è $\mathbb{R}$ , cf. definizione 1.

(Simmetrie.) La funzione segno è una funzione dispari: segue dal Lemma 3 che
(6) $\begin{equation*} \operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn}(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione segno è simmetrico rispetto all’origine.

(Periodicità.) La funzione segno non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione segno ha un’unica intersezione con l’asse $x$ nel punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione segno, come suggerisce la parola stessa, ha lo stesso segno del suo argomento
$\operatorname{sgn}(x)\geq 0 \quad \iff \quad x \geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione segno è una funzione monotona non decrescente in tutto il suo dominio.

(Immagine.) L’immagine della funzione segno è pari all’insieme $\{-1,0,1\}$ . In particolare, segue che la funzione segno è limitata superiormente e inferiormente e si ha
$\inf_{x\in \mathbb{R}} \operatorname{sgn} x= \min_{x \in \mathbb{R}} \operatorname{sgn}(x)=-1, \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}}\operatorname{sgn} x = \max_{x \in \mathbb{R}}\operatorname{sgn}(x)=1.$