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Funzione logaritmo

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

 
 

Introduzione

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Il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale, a un certo y>0 associa l’unico esponente x tale che a^x=y. In questo articolo, dopo aver mostrato l’esistenza del logaritmo per ogni y>0, ne studiamo le proprietà e il grafico, distinguendo i casi in cui la base a sia maggiore di 1 o compresa tra 0 e 1.

 
 

Logaritmi

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Diamo la seguente definizione.

Definizione 1 (logaritmi). Dati y\in \mathbb{R}^+ e a>0, \, a \neq 1, si dice logaritmo in base a di y, se esiste, l’ esponente x\in \mathbb{R} che bisogna assegnare ad a (detta base) per ottenere y (detto argomento), ovvero l’unica soluzione x dell’equazione

(1) \begin{equation*} a^x= y. \end{equation*}

\[\quad\]

L’unicità della soluzione di (1) segue dall’iniettività della funzione esponenziale, in quanto monotona. In questa sezione dimostreremo l’esistenza della soluzione dell’equazione (1) per ogni y>0.

Poiché per definizione, per a>0, \, a \neq 1, si ha

(2) \begin{equation*} x=\log_a y \quad \iff \quad a^x= y, \end{equation*}

quando questo ha senso, quella che stiamo definendo è la funzione inversa della funzione esponenziale f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+ definita da

(3) \begin{equation*} f(x)=a^x\qquad\forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}

Per convenienza del lettore, è stato già anticipato nel corso della dispensa il fatto che essa è invertibile in \mathbb{R}; in questa sezione mostriamo formalmente l’esistenza della funzione

(4) \begin{equation*} \log_a(\cdot) \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \end{equation*}

inversa della funzione esponenziale di base a, data da (3).

Teorema 2 (funzione logaritmo). Sia a>0, \, a \neq 1 e sia f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ la funzione esponenziale di base a, cf. (3), è invertibile e la sua inversa, denotata con

(5) \begin{equation*} \log_a (\cdot)\colon x \in \mathbb{R}^+ \to \log_a {x} \in \mathbb{R}, \end{equation*}

è detta funzione logaritmo in base \bm{a}.

\[\quad\]

Dimostrazione. Costruiamo la funzione logaritmo solo nel caso a>1. Nel caso 0<a<1, la tesi si può dedurre dal caso a>1; infatti, poiché si ha

\[a^x=\left( \frac{1}{a} \right)^{-x}\forall a>0, \,x \in \mathbb{R},\]

allora, per definizione di logaritmo, cf. definizione 1, si deve avere

(6) \begin{equation*} \log_a x =-\log_{1/a}x. \end{equation*}

Una volta dimostrata l’esistenza della funzione logaritmo in base a nel caso a>1, la formula (6) permette di ricavarla anche nel caso 0<a<1. Sia dunque a>1, e fissiamo x >0. Definiamo la quantità

(7) \begin{equation*} v(x) \coloneqq \sup \left\{ t \in \mathbb{R} \colon a^t<x \right\}, \end{equation*}

La definizione è ben posta in quanto l’esistenza dell’estremo superiore è garantita dall’assioma di completezza. Infatti, dimostriamo che l’insieme

(8) \begin{equation*} A_x\coloneqq \left\{ t \in \mathbb{R} \colon a^t<x \right\} \end{equation*}

è non vuoto per ogni x>0. Infatti, se 0<x< 1, la disequazione è equivalente a

(9) \begin{equation*} a^t<x\quad \iff \quad \left(a \right)^{-t}>\frac 1 x>1, \end{equation*}

ovvero, equivale a mostrare che, dato un qualunque x>1, esiste un t_0\in \mathbb{R} tale che

(10) \begin{equation*} a^{t_0}>x. \end{equation*}

Dalla disuguaglianza di Bernoulli (1+h)^n \geq 1+nh per ogni h> -1 e ogni n \in \mathbb{\mathbb{N}}, otteniamo

(11) \begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N}, \qquad a^n\geq 1+n\left( a-1 \right). \end{equation*}

Per la proprietà archimedea, esiste t_0 \in \mathbb{N} tale che t_0>\dfrac{x-1}{a-1}, dunque da (11) otteniamo

\[a^{t_0}\geq 1+t_0(a-1)>x,\]

ovvero la (10). Abbiamo così dimostrato che A_x è non vuoto per ogni 0<x<1. Siccome si ha che

\[\forall \, x<y \qquad A_x\subseteq A_y,\]

otteniamo che A_x è non vuoto per ogni x>0. Inoltre, per quanto appena visto, A_x è anche superiormente limitato per ogni x >0. Di conseguenza, la (7) definisce una funzione

(12) \begin{equation*} v \colon x \in \mathbb{R}^+ \mapsto v(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Dobbiamo ora mostrare che effettivamente la definizione (7) coincide con il logaritmo, nel senso della definizione 1, ovvero soddisfa le seguenti identità:

(13) \begin{equation*} \begin{split} a^{v(x)}=x \qquad \forall x >0 &\\ \end{split} \end{equation*}

(14) \begin{equation*} \begin{split} v({a^x})=x \qquad \forall x \in \mathbb{R} & \end{split} \end{equation*}

Mostriamo innanzitutto che vale la (13). Supponiamo per assurdo che si abbia

\[a^{v(x)} < x,\]

ovvero che \log_a{x} sia un elemento dell’insieme A_x. Poiché, per definizione, tale quantità ne è l’estremo superiore, sarebbe il massimo dell’insieme A_x. L’assurdo segue dal fatto che per ogni x>0 l’insieme A_x non ha massimo. Per dimostrarlo, utilizziamo il seguente fatto:

(15) \begin{equation*} \forall x >1 \quad \exists t_0>0 :\quad a^{t_0}<x. \end{equation*}

Per dimostrare la (15), utilizziamo ancora una volta la disuguaglianza di Bernoulli:

(16) \begin{equation*} a \leq \left( 1+ \dfrac{a-1}{n} \right)^n \quad \iff \quad \sqrt[n]{a} \leq 1+ \dfrac{a-1}{n}, \end{equation*}

dove nella doppia implicazione utilizziamo la crescenza della funzione radice n-esima. Dato x>1, per la proprietà archimedea esiste n_0\in \mathbb{N} tale che

\[1+ \dfrac{a-1}{n_0} <x,\]

dunque, ponendo t_0 \coloneqq \dfrac{1}{n_0}, otteniamo da (16) che

\[a^{t_0} <x,\]

ovvero abbiamo dimostrato la proprietà (15). Per concludere la dimostrazione che l’insieme A_x non ha massimo, dobbiamo mostrare che per ogni x>0, e per ogni t\in \mathbb{R} tale che a^t<x, esiste \bar{t}>t tale che

\[a^{\bar{t}}<x.\]

Notiamo che, per la (15), esiste t_0>0 tale che

(17) \begin{equation*} a^{t_0} <1+\frac{x-a^t}{a^t}. \end{equation*}

Posto

\[\bar{t}\coloneqq t+t_0>t,\]

abbiamo

\[a^{\bar{t}}= a^ta^{t_0}< a^t\left( 1+\frac{x-a^t}{a^t} \right)=x,\]

dove abbiamo usato prima le proprietà delle potenze e poi la disuguaglianza (17). Per terminare la dimostrazione della (13), supponiamo per assurdo che si abbia

\[a^{v(x)} > x.\]

e poniamo \varepsilon \coloneqq a^{v(x)} -x > 0. Notiamo che, posto

\[s \coloneqq v(x),\]

per la (15) esiste t_0>0 tale che

(18) \begin{equation*} a^{t_0} < 1+ \frac{\varepsilon}{a^s}. \end{equation*}

Inoltre, per la proprietà caratterizzante dell’estremo superiore, esiste t\in A_x tale che

(19) \begin{equation*} s-t< t_0. \end{equation*}

L’assurdo segue dal fatto che

\[\varepsilon = a^s-x < a^s-a^t= a^t(a^{s-t}-1) < a^t\frac{\varepsilon}{a^s} <\varepsilon,\]

dove abbiamo utilizzato le proprietà dell’esponenziale e le stime (18), (19).

Abbiamo dunque dimostrato, cf. (13), che la funzione definita da (7) è un’inversa a destra della funzione esponenziale (3). Questo è tutto ciò che occorre dimostrare, in quanto l’esponenziale essendo monotona, è iniettiva, e dunque ha anche un’inversa a sinistra. Concludiamo che la funzione (7) è l’inversa di (3), ovvero vale anche la (14). Ciò mostra che v(x) è effettivamente il logaritmo in base a di x, concludendo la dimostrazione.

Prima di analizzare il grafico di \log_a x, introduciamo e dimostriamo le proprietà fondamentali dei logaritmi.

Proposizione 3 (proprietà dei logaritmi). Sia a>0 tale che a\neq 1. Valgono le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. \log_a 1=0;

    2.  

  2. \log_a a=1;

    3.  

  3. (Prodotto)

    (20) \begin{equation*} \log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c, \qquad \forall b,c>0; \end{equation*}

    4.  

  4. (Potenza)

    (21) \begin{equation*} \log_a(b^c)=c\log_a b, \qquad \forall b,c>0;; \end{equation*}

    5.  

  5. (Quoziente)

    (22) \begin{equation*} \log_a\left( \frac bc \right)=\log_a b-\log_a c, \qquad \forall b,c>0;; \end{equation*}

    6.  

  6. (Cambiamento di base)

    (23) \begin{equation*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \forall b,c>0;. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. (1-2) Seguono banalmente dalla definizione in quanto a^0=1 e a^1=a.

3. Per la definizione di logaritmo si ha

\[a^{\log_a b}=b\qquad \text{e} \qquad a^{\log_a c}=c.\]

Inoltre, per le proprietà delle potenze,

\[ a^{{\log_a b}+\log_a c}=a^{\log_a b}a^{\log_a c}=bc. \]

Applicando ancora la definizione di logaritmo nell’equazione sopra abbiamo

\[ {\log_a b}+\log_a c=\log_a (bc) \]

che è esattamente (20).

4. Poiché a^ {\log_a b}=b, per le proprietà delle potenze

\[ a^{c \, {\log_a b}}=(a^ {\log_a b})^c=b^c. \]

Per la definizione di logaritmo nella precedente equazione

\[ c\,{\log_a b}=\log_a(b^c) \]

da cui (21).

5. Si ha

(24) \begin{equation*} \log_a\left( \frac bc \right)=\log_a \left( bc^{-1} \right)= \log_a b+\log_a \left( c ^{-1}\right)=\log_a b-\log_a c, \end{equation*}

dove nella seconda equazione abbiamo usato la (20) e nella terza equazione la (21).

6. Dall’equazione a^ {\log_a b}=b abbiamo

\[ \log_c a^ {\log_a b}=\log_c b. \]

Per la (21) l’equazione sopra equivale a

\[ {\log_a b}\log_c a=\log_c b. \]

Otteniamo così la (23) dividendo per \log_c a \neq 0 essendo a\neq 1.

Nel seguito scriviamo \log_a x sottointendendo che

\[\quad\]

  • la base a soddisfa a \in (0,1) \cup (1,+\infty);

    •  

  • l’argomento x soddisfa x>0.

Grafico della funzione logaritmo

Siamo pronti a studiare qualitativamente il grafico della funzione f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R} data da

\[ f(x)=\log_ax, \quad a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}. \]

Abbiamo visto che se una funzione è invertibile, il grafico della sua inversa è simmetrico a quello della funzione stessa rispetto alla bisettrice y=x. Dunque possiamo già dedurre il grafico di \log_a x: basta tracciare il grafico simmetrico, rispetto alla bisettrice, di quello della funzione a^x.

Vediamo i due casi separatamente.


 
 

Proprietà della funzione logaritmo per una base {a>1}.

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Osserviamo preliminarmente che:

\[\quad\]

  • (Dominio.) Il dominio della funzione logaritmica f è \mathbb{R}^+=(0,+\infty).  

  • (Simmetrie.) Non ha senso chiedersi se la funzione f sia pari o dispari, perché il dominio non è simmetrico rispetto lo 0.

    •  

  • (Periodicità.) Non ha senso chiedersi se la funzione f sia periodica, in quanto il dominio non è invariante per traslazione.

    •  

  • (Intersezione con gli assi.) Il grafico di f interseca l’asse delle ascisse nel punto P=(1, 0), in quanto

    \[f(x)=\log_a x=0 \iff x=1\]

    Infine, f non ha intersezioni con l’asse delle ordinate, in quanto 0 \notin \operatorname{dom}(f).

    •  

  • (Intervalli di monotonia.) La funzione f è monotona strettamente crescente (stiamo assumendo a>1), in quanto l’inversa di una funzione crescente è crescente. In alternativa, si può calcolare direttamente che, dati x< y \in \mathbb{R}, per le proprietà dei logaritmi, cf. proposizione 3, si ha

    (25) \begin{equation*} \begin{gathered} f(y)=\log_a y>\log_a x=f(x) \quad \forall x<y\quad \iff \quad \log_a y-\log_a x>0 \quad \forall x<y \quad \iff \\ \iff \quad \log_a\left( \frac y x \right)>0 \quad \forall x<y \quad \iff \log_a(x)>0 \quad \forall x >1. \end{gathered} \end{equation*}

    •  

  • (Immagine.) L’immagine di f è

    (26) \begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, \end{equation*}

    in quanto inversa della funzione esponenziale. In particolare f è illimitata inferiormente e illimitata superiormente e si ha

    \[ \inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \qquad \text{ e }\qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty. \]

    •  

  • (Invertibilità.) La funzione logaritmica è invertibile e la sua inversa è la funzione esponenziale, cf. teorema 2.

Notiamo infine, con una tabella e con un grafico comparativo nel caso a=10, come la crescita della funzione sia particolarmente lenta. I valori a=10 e a=e per la base sono quelli più frequentemente usati. Convenzionalmente, per essi si usano i simboli1

\[ \log\coloneqq \log_{10}\quad ; \quad \ln\coloneqq \log_e. \]

(27) \begin{equation*} \begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \log x$ \\ \hline 0{,}2 & $\sim -0{,}698$ \\ \hline 0{,}5 & $\sim -0{,}301$ \\ \hline 25 & $\sim1{,}397$ \\ \hline 50 & $\sim1{,}698$ \\ \hline 100 & 2 \\ \hline 1000 & 3 \\ \hline 2000 & $\sim 3{,}301$ \\ \hline $42^{42}$ & $\sim 68{,}176$ \\ \hline \end{tabular} \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 1: la funzione \log_a x per a=10 (in blu), ottenuta come simmetrica di 10^x (tratteggiata in verde) rispetto alla retta y=x (tratteggiata in rosso).

\[\quad\]

Figura 2: la funzione y=\log_{10} x paragonata ai grafici delle funzioni y=\sqrt[8]{x},y=\sqrt x, y=x,y=x^2 per evidenziare la lenta crescita logaritmica.

   

  1. \ln sta per logaritmo naturale. ↩

 
 

Proprietà della funzione logaritmo per una base 0<a<1.

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Se a\in (0,1), il grafico di \log_a x è simmetrico al grafico della funzione a^x rispetto alla bisettrice y=x.

\[\quad\]

  • (Dominio.) Il dominio della funzione logaritmica f è \mathbb{R}^+=(0,+\infty).

    •  

  • (Simmetrie.) Non ha senso chiedersi se la funzione f sia pari o dispari, perché il dominio non è simmetrico rispetto lo 0.

    •  

  • (Periodicità.) Non ha senso chiedersi se la funzione f sia periodica, in quanto il dominio non è invariante per traslazione.

    •  

  • (Intersezione con gli assi.) Il grafico di f interseca l’asse delle ascisse nel punto P=(1,0), in quanto

    \[f(x)=\log_a x=0 \iff x=1\]

    Infine, f non ha intersezioni con l’asse delle ordinate, in quanto 0 \notin \operatorname{dom}(f).

    •  

  • (Intervalli di monotonia.) La funzione f è monotona strettamente decrescente (stiamo assumendo 0<a<1), poiché abbiamo visto che a^x è decrescente se 0<a<1 e dunque la sua inversa è una funzione decrescente.

    •  

  • (Immagine.) L’immagine di f è

    (28) \begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, \end{equation*}

    in quanto inversa della funzione esponenziale. In particolare f è illimitata inferiormente e illimitata superiormente e si ha

    \[ \inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \qquad \text{ e }\qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty. \]

    •  

  • (Invertibilità.) La funzione logaritmica è invertibile e la sua inversa è la funzione esponenziale, cf. teorema 3.

\[\quad\]

Figura 3: la funzione \log_a x per a=\frac 1 2 (in blu), ottenuta come simmetrica di \left( \frac 1 2 \right)^x (tratteggiata in verde) rispetto alla retta y=x (tratteggiata in rosso).

\[\quad\]

Osservazione 4. Per completezza abbiamo elencato tutte le caratteristiche di \log_a x per 0<a<1. Tuttavia, si poteva anche osservare che, per la (23), si ha

\[\log_{a} x = - \log_{a^{-1}}x\]

e dunque il grafico e le proprietà dell’una possono essere dedotte direttamente dall’altra.