Funzione esponenziale

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

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La funzione esponenziale associa a ciascun numero reale $x$ una potenza $a^x$ , di cui $x$ costituisce appunto l’esponente. Dopo aver dato un senso a tale espressione per un qualsiasi numero reale $x$ , studiamo le proprietà di questa funzione, che sono in un certo senso opposte a seconda che la base $a$ sia maggiore di $1$ o compresa tra $0$ e $1$ .

La funzione esponenziale

Studiamo la funzione esponenziale $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , definita da

(1) $\begin{equation*} f(x)= a^x\qquad \forall x\in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove $a$ è un parametro che soddisfa

$a>0, \quad a\neq 1$

detto base dell’esponenziale. Ci occupiamo innanzitutto di dare un senso all’espressione (1); vediamo prima il caso in cui $x$ è un numero intero, poi un numero razionale, e infine un numero reale.

Ricordiamo la seguente definizione.

Definizione 1 (esponenziale di esponente naturale). Sia $a\in\mathbb{R}$ . Per ogni $n\in \mathbb{N}$ , definiamo

$a^{n} \coloneqq \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\text {$n$ volte }},$

$\quad$

mentre definiamo $a^0=1, \;\forall a \neq 0$ , ovvero il prodotto vuoto è per convenzione pari ad 1. Le proprietà riassunte nella seguente proposizione sono note come proprietà delle potenze.

Proposizione 2. Si hanno le seguenti propietà:

$\quad$

$a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m}, \qquad \forall n,m \in \mathbb{N}$ .

$(a^{n})^m=a^{n m},\qquad \forall n,m \in \mathbb{N}.$

$(a b)^{n} =a^{n} b^{n}$ e $\left(\dfrac ab \right)^n=\left(\dfrac{a^n}{b^n} \right)$ , per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ .

Per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ si ha
$\frac{a^{n}}{a^{m}}= \begin{cases} a^{n-m}, &\quad\text{se}\quad n>m;\\ 1, &\quad\text{se}\quad n=m;\\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}, &\quad\text{se}\quad n<m.\\ \end{cases}$

$\quad$

Dimostrazione.

Proviamo che $a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m},$ per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ . Per la proprietà associativa del prodotto in $\mathbb{R}$ si ha
$\begin{split} a^{n+m} &=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n}+{m} \text { volte }}=(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots a}_{\text {$n$ volte }})(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\text {$m$ volte }})=a^{n} \cdot a^{m} \end{split}$

Proviamo che $(a^{n})^m=a^{n \cdot m},$ per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ . Si ha
$\begin{split} \left(a^{n}\right)^{m} &=(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }})^{m} \\ &=\underbrace{(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdot(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdots(\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }})}_{{m} \text { volte }} =\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{{n}\cdot {m} \text { volte }}=a^{n m} \end{split}$

Proviamo che $(a b)^{n} =a^{n} b^{n}$ e $\left(\dfrac ab \right)^n=\left(\dfrac{a^n}{b^n} \right)$ , per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ .
Dalla proprietà commutativa del prodotto in $\mathbb{R}$ si ha

$\begin{split} (a b)^{n} &=\underbrace{a b \cdot a b \cdots a b}_{{n} \text { volte }} =(\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{n} \text { volte }}) \cdot(\underbrace{b \cdot b \cdots b}_{{n} \text { volte }}) =a^{n} b^{n}. \end{split}$

La seconda affermazione segue dalla prima sostituendo $b$ con $\dfrac{1}{b}$ .

Proviamo che per ogni $n,m \in \mathbb{N}$ si ha
$\frac{a^{n}}{a^{m}}= \begin{cases} a^{n-m}, &\quad\text{se}\quad n>m;\\ 1, &\quad\text{se}\quad n=m;\\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}, &\quad\text{se}\quad n<m.\\ \end{cases}$

Se $n>m$ allora

$\frac{a^{n}}{a^{m}}=\frac{\cancel{\overbrace{a \cdot a \cdots a}^{\text {$m$ volte }}} \cdot \overbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}^{\text {$n-m$ volte }}}{\cancel{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{m} \text { volte }}}}=a^{n-m}.$

Se $n=m$ chiaramente $\dfrac{a^n}{a^m}=1$ .
Se $n<m$ allora

$\frac{a^{n}}{a^{m}}=\frac{\cancel{\overbrace{a \cdot a \cdots a}^{\text {$m$ volte }}}}{\cancel{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{{m} \text { volte }}}\cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{\text {$m-n$ volte }}}=\frac{1}{a^{m-n}}.$

Infine, utilizzando la proprietà $c)$ e il fatto che $1^n=1$ per ogni $n$ , abbiamo

$\frac{1}{a^{m-n}}= \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m-n}.$

Definizione 3 (esponenziale di esponente intero relativo). Sia $a\neq 0$ e $n\in \mathbb{N}$ . Definiamo $a^{-n} \coloneqq \dfrac{1}{a^{n}}$ .

$\quad$

Osservazione 4. Osserviamo che la definizione 3 ci permette di definire anche $a^n$ con $n \in \mathbb{Z}$ ed estendere la regola $a^n/a^m= a^{n-m}$ anche al caso $n \leq m$ .

Vogliamo ora definire le potenze frazionarie. È naturale chiedersi come poter dare senso all’espressione $a^r$ per un numero razionale $r$ . Poiché la definizione deve essere coerenete con le proprietà delle potenze, cf. proposizione 2, avremo

$(a^{\frac 1 n})^n = a^{\frac 1 n \cdot n}=a^1=a,$

dunque poiché la quantità $a^{\frac 1 n}$ deve essere una radice $n$ -esima di $a$ , l’unica scelta coerente è quella di porre

$a^{\frac 1n}\coloneqq \sqrt[n]{a}.$

Questo giustifica la seguente:

Definizione 5 (esponenziale di esponente razionale). Sia $a>0$ un numero reale. Dato un numero razionale $r \in \mathbb{Q}$ ,
siano $m \in \mathbb{Z}, \; n \in \mathbb{N}_0$ interi senza fattori in comune tali che

$r=\frac{m}{n}.$

Definiamo l’esponenziale di $a$ di esponente $r$ la quantità

(2) $\begin{equation*} a^{\frac mn}\coloneqq \sqrt[n]{a^{m}}. \end{equation*}$

$\quad$

Il prossimo risultato ci mostra che la definizione appena data è ben posta.

Proposizione 6. Dato $a>0$ , consideriamo la funzione $g_a\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ definita da

(3) $\begin{equation*} g_a(m/n)\coloneqq \sqrt[n]{a^m}. \end{equation*}$

allora, la funzione $g_a\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ è l’unica funzione definita su $\mathbb{Q}$ e avente le seguenti proprietà:

$\quad$

$g_a(1)=a$

Per ogni $r,s\in \mathbb{Q}$ ,

(4) $\begin{equation*} g_a(r+s)=g_a(r)g_a(s). \end{equation*}$

La funzione $g_a$ è crescente e inoltre vale la seguente identità:

(5) $\begin{equation*} g_a(r\cdot s)=g_{a^r}(s)=g_{a^s}(r) \qquad \forall s,t \in \mathbb{Q}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Fissato $a>0$ , supponiamo che esista una funzione $G\colon\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ tale che

$\quad$

$G(1)=a$

Per ogni $q,s\in \mathbb{Q}$ ,
$G(q+s)=G(q)G(s),$

e mostriamo che $G$ e $g_a$ devono coincidere. Osserviamo che

$G(0)a=G(0)G(1)=G(0+1)=G(1)=a,$

dunque, siccome $a >0$ , troviamo

$G(0)=1.$

Inoltre, si ha

$G(1/n)^n=\underbrace{G(1/n) \cdot G(1/n) \cdots G(1/n)}_{{n} \text { volte }}=G(1/n+..+1/n)=G(1)=a,$

che implica

(6) $\begin{equation*} G(1/n)=a^{\frac 1n}=\sqrt[n]{a}. \end{equation*}$

Usando questo fatto, vediamo che, se $m>0$ ,

$G(1/n)^m=\underbrace{G(1/n) \cdot G(1/n) \cdots G(1/n)}_{{m} \text { volte }}=\underbrace{1/n +1/n \cdots + 1/n}_{{m} \text { volte }}=G(m/n),$

da cui, per la (6),

$G(m/n)=\sqrt[n]{a^m}.$

Se $m<0$ abbiamo

$1=G(0)=G(-m/n+m/n)=G(-m/n)G(m/n)=G(m/n)\sqrt[n]{a^{-m}} \Rightarrow G(m/n)=(\sqrt[n]{a^{-m}})^{-1}=\sqrt[n]{a^{m}}.$

Questo implica che, per ogni $r \in \mathbb{Q}$ , $G(r)=g_a(r)$ .

Per dimostrare l’ultima identità, notiamo che

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}}=\sqrt[n m]{a},$

che segue dal fatto che

$\left( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}} \right)^{nm}=\left( \left( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}\phantom{.}} \right)^{n} \right)^m=\left( \sqrt[m]{a} \right)^m=a,$

cf. punto (b) della proposizione 2, e dall’unicità della soluzione di $x^{nm}=a, \; x>0$ .
Similmente, si mostra che l’estrazione di radice commuta con l’elevamento a potenza, ovvero

$\sqrt[n]{a^m}=\left( \sqrt[n]{a} \right)^m.$

Dunque, per quanto visto abbiamo che

$\begin{aligned} a^{\frac{p}{q}\cdot\frac{n}{m}}&= a^{\frac{pn}{qm}}= \sqrt[pn]{a^{qm}}== \sqrt[p]{\sqrt[n]{(a^m)^q}}= \sqrt[p]{\left( \sqrt[n]{a^m }\right)^q}=\left( a^{\frac{n}{m}} \right)^{\frac p q}. \end{aligned}$

Per finire, notiamo che la proprietà (2) implica facilmente la crescenza di
$g_a$ .

L’estensione al caso in cui l’esponente $x$ è reale, in (1), è una conseguenza del fatto, più profondo, e che non dimostriamo, che l’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ , ovvero qualsiasi numero reale si può approssimare con una successione di numeri razionali. In altre parole, fissato $x\in \mathbb{R}$ , c’è una successione di numeri $q_n\in \mathbb{Q}$ tale per cui per ogni $\varepsilon>0$ esiste $n_\varepsilon\in \mathbb{N}$ tale che $q_n \in (x- \varepsilon,x+ \varepsilon)$ per ogni $n>n_\varepsilon$ .
Illustriamo questa idea con un esempio.

Esempio 7. Supponiamo di voler definire il numero $2^{\sqrt 2}$ . Sappiamo che possiamo approssimare $\sqrt 2$ per difetto dalla successione crescente di numeri razionali

$a_n\coloneqq \{a_1,a_2,..\}= \{1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, ... \}$

e per eccesso dalla successione decrescente di numeri razionali

$b_n\coloneqq \{b_1,b_2,..\}= \{1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, ... \}$

che ovviamente soddisfano $a_n < b_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ . Osserviamo che i termini delle due successioni sono sempre più vicini. Formalmente, per ogni $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$ esiste $n_\varepsilon$ tale che

$b_n-a_n<\varepsilon, \quad \forall n>n_\varepsilon,$

ovvero le due successioni sono arbitrariamente vicine per $n$ sempre più grande. A questo punto possiamo finalmente definire $2^{\sqrt 2}$ approssimandolo, con precisione infinita, dall’alto e dal basso con le precedenti successioni:

$2^{1.4}<2^{1.41}<2^{1.414}<...<2^{\sqrt 2}<...<2^{1.415}<2^{1.42}<2^{1.5}.$

Un modo per rendere la discussione formale è quelllo di introdurre il concetto di limite, e riformulare quanto appena visto come segue:

(7) $\begin{equation*} \forall \, x \in \mathbb{R} \quad \exists\, \{ q_n \}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{Q} \; \text{ tale che }\; \lim_{n \to +\infty}q_n=x. \end{equation*}$

Dunque, per $n$ sufficientemente grande, $q_n \in \mathbb{Q}$ è arbitrariamente vicino a $x\in \mathbb{R}$ , quindi è naturale aspettarsi che per $n$ sufficientemente grande, $a^{q_n}$ è è arbitrariamente vicino a $a^x$ .
Solitamente, si definisce l’esponenziale di un numero reale $x$ utillzzando il risultato (7), tramite la formula

$a^x \coloneqq \lim_{n \to + \infty}a^{q_n}.$

Si dimostra che questa definizione è ben posta, ovvero che comunque scegliamo la successione di razionali approssimante $x$ , il limite di destra è lo stesso.

Una definizione altrettanto rigorosa dell’esponenziale di un numero reale, che non fa uso della teoria dei limiti, ma sfrutta la crescenza della funzione esponenziale definita in (3), è la seguente.

Definizione 8 (esponenziale di esponente reale). Sia $a>1$ . Per ogni $x \in \mathbb{R}$ , definiamo

(8) $\begin{equation*} a^x\coloneqq \sup \left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x\right\}. \end{equation*}$

Sia $0<a<1$ . Per ogni $x \in \mathbb{R}$ , possiamo definire l’esponenziale di $x$ di base $a$ tramite la formula

(9) $\begin{equation*} a^x\coloneqq \frac{1}{(1/a)^x}, \end{equation*}$

che è ben posta in quanto in tal caso $1/a>1$ .

$\quad$

Osservazione 9. La definizione appena data risulta chiaramente coerente con la definizione 5. Nel caso in cui $a>1$ e $x \in \mathbb{Q}$ , infatti, per la crescenza della funzione esponenziale su $\mathbb{Q}$ , cf. proposizione 6, l’estremo superiore di $\left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x \right\}$ è un massimo, raggiunto per $q=x$ .

Osservazione 10. Osserviamo che nel caso $a < 0$ non possiamo definire la funzione $a^x$ in $\mathbb{R}$ per il semplice fatto che le radici di indice pari di numeri negativi non sono numeri reali. Per esempio, per $a=-1$ e $x=\frac 12$ la funzione restituirebbe $\sqrt{-1}$ che non appartiene all’insieme $\mathbb{R}$ .

Proposizione 11. Sia $a>1$ . L’espressione (8) determina una funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(10) $\begin{equation*} f(x)= a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

detta funzione esponenziale di base $a$ .
Analogamente, per $0<a<1$ , l’espressione (9) definisce una funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come in (10).

$\quad$

Dimostrazione. Sia $a>1$ . Dobbiamo mostrare che per ogni $x \in \mathbb{R}$ l’insieme

$P_x\coloneqq \left\{ a^{q} : q\in \mathbb{Q}, \,q\leq x \right\}$

è non vuoto e superiormente limitato. Esso è non vuoto in quanto, dato $x \in \mathbb{R}$ esistono sicuramente $q\in \mathbb{Q}$ tali che

$q \leq x.$

Inoltre, dalla crescenza della funzione della funzione esponenziale su $\mathbb{Q}$ , cf. proposizione
è un maggiorante di $P_x$ per ogni $q \in \mathbb{Q}$ tale che $q>x$ .

Proposizione 12 (proprietà dell’esponenziale). Sia $a>0, \;a \neq 1$ . Allora, valgono le seguenti proprietà

$\quad$

$a^{x+y}=a^xa^y \qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

$a^{xy}=(a^x)^y\qquad \forall x,y \in\ \mathbb{R}$ ;

La funzione esponenziale, cf. (10) di base $a>1$ (risp. $0<a<1$ ) è crescente (risp. decrescente).

$\quad$

Osservazione 13 (il numero di Nepero). Una funzione esponenziale degna di nota è quella con base uguale a

(11) $\begin{equation*} e\coloneqq \sup\left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n: n \in \mathbb{N}\right\}=2.71828182845904523536028747135266249..%77572470936999595749669676...%277240766303535475945713821785251664274... \end{equation*}$

Quest’ultimo numero, noto come Numero di Nepero, oppure come Costante di Eulero, può essere definito rigorosamente in vari modi, segnaliamo ad esempio Il numero di Nepero. Esso è un numero irrazionale trascendente che emerge in modo naturale in innumerevoli situazioni e applicazioni, la cui scoperta e prime analisi sono attribuite a Jakob Bernoulli $(1654-1705)$ , che la nominò in onore dei matematici John Napier (tradotto Giovanni Nepero) $(1550-1617)$ , e Leonhard Euler $(1707-1783)$ , tra il diciassettesimo e il diciottesimo secolo.
Il grafico di $f(x)=e^x$ è ovviamente simile a quelli dipinti in figura 1, visto che la base è maggiore di $1$ , inoltre esso è compreso tra il grafico della funzione in verde ( $a=3$ ) e di quella in blu ( $a=2$ ).

Studiamo ora le proprietà della funzione esponenziale $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x)=a^x\qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

dove $a \in (0,1)\cup (1,+\infty)$ è fissato, distinguendo due casi.

Proprietà della funzione esponenziale con base $a>1$

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione esponenziale $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione $f$ non è né pari né dispari. Infatti,
$f(-x)=a^{-x}=\frac{1}{a^x} \begin{cases} \neq f(x),\\ \neq -f(x). \end{cases}$

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ordinate nel punto $P=(0,1)$ , in quanto $f(0)=a^0=1$ e non ha intersezioni con l’asse delle ascisse, in quanto
$f(x)=a^x \neq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

.

(Segno.) La funzione $f$ è sempre positiva:
$f(x)=a^x>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente crescente (stiamo assumendo $a>1$ ), cf. proposizione 12. In particolare,

(12) $\begin{equation*} a^x>1\qquad \forall x >1. \end{equation*}$

(Immagine.) L’immagine di $f$ è

(13) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^+. \end{equation*}$

Questo fatto è non banale e per dimostrarlo rigorosamente occorre usare la completezza dei reali.
In particolare $f$ è limitata inferiormente (risp. illimitata superiormente) e si ha

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \qquad (\text{risp.} \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty.)$

(Invertibilità.) Segue dalla monotonia, cf. (??), che la funzione esponenziale $f$ è iniettiva. Inoltre, da (13) segue che $f^{\mathbb{R}^+}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ è invertibile.

Prendendo valori di $x$ sempre più grandi si ottengono valori di $f(x)$ sempre più grandi, mentre se si prendono valori sempre più negativi, si ottengono valori sempre più vicini a zero.

Dalle proprietà presentate precedentemente, sappiamo che $a^x$ è una funzione crescente, limitata inferiormente ma non superiormente e che il suo estremo inferiore è $0$ .
Graficamente, per valori maggiori di $x$ si ottengono valori sempre più grandi di $f(x)$ e con una crescita molto rapida, detta appunto crescita esponenziale. Per valori grandi negativamente di $x$ i valori assunti da $f(x)$ si avvicinano a zero, senza mai raggiungerlo, in quanto $a^x\neq 0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ . Tracciamo il grafico di $a^x$ per alcuni valori fissati di $a>1$ .

$\quad$

Figura 1: il grafico di $f(x)= a^x$ per alcuni valori di $a>1$ .

$\quad$

Figura 2: il grafico di $f(x)= e^x$ , dove $e$ è il numero di Nepero, cf. (11).

Proprietà della funzione esponenziale con base $0<a<1$

$\quad$

(Dominio.) Il dominio della funzione esponenziale $f$ è $\mathbb{R}$ .

(Simmetrie.) La funzione $f$ non è né pari né dispari.

(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) Il grafico di $f$ interseca l’asse delle ordinate nel punto $P=(0,1)$ , e non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.

(Segno.) La funzione $f$ è sempre positiva.

(Intervalli di monotonia.) La funzione $f$ è monotona strettamente decrescente (stiamo assumendo $0<a<1$ ). Infatti, dati $x, y \in \mathbb{R}$ , per le proprietà delle potenze si ha

(14) $\begin{equation*} f(y)=a^y<a^x=f(x) \quad \forall x<y \quad \iff \quad a^{x-y}>1 \quad \forall x<y \quad \iff \quad\left( \frac 1 a \right)^{y-x}>1 \quad \forall x<y, \end{equation*}$

che è equivalente a (12)

(Immagine.)
L’immagine di $f$ è

(15) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^+. \end{equation*}$

(Invertibilità.) $f|^{\mathbb{R}^+}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ è invertibile.

Possiamo inoltre notare che il grafico di $f(x)=a^x$ con $0<a<1$ è simmetrico, rispetto all’asse $y$ , al grafico di $g(x)=(a^{-1})^{x}$ , dove $a^{-1}>1$ . Infatti

$f(-x)=a^{-x}=(a^{-1})^x=g(x).$

Dunque tutte le proprietà che abbiamo studiato nel caso precedente, in cui la la base $a$ era maggiore di $1$ , si applicano in modo simmetrico. Graficamente, per alcuni valori fissati di $0<a<1$ , si ha:

$\quad$

Figura 3: il grafico di $f(x)= a^x$ per alcuni valori di $0<a<1$ .

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