Dominio di una funzione: definizione ed esempi

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

Introduzione

Il dominio di una funzione, o meglio di un’espressione matematica del tipo $f(x)$ , che dipende cioè da una variabile reale $x$ , è l’insieme più grande dei valori che è possibile dare a $x$ affnché sia ben definito il valore $f(x)$ .
Il dominio di una funzione, detto anche campo di esistenza o insieme di definizione, è quindi il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ in cui l’operazione $f(x)$ risulta possibile.

L’importanza della ricerca di tale dominio, detto anche massimale, in cui è possibile svolgere determinate operazioni, è dovuta al fatto che spesso un determinato fenomeno viene modellizzato matematicamente da una certa legge numerica, ed è quindi necessario conoscere per quali numeri tale legge è significativa.

In questo articolo spieghiamo il significato di questo fondamentale oggetto matematico, che illustriamo attraverso alcuni esempi e relativi grafici.

Il dominio di una funzione: definizione ed esempi

Definizione 1 (dominio). Data un’operazione $f(x)$ sul numero reale $x$ , si dice dominio, insieme di definizione o campo di esistenza di $f(x)$ , il massimo sottoinsieme $D$ di $\mathbb{R}$ , rispetto all’ordinamento per inclusione, per cui esista la funzione $f: D \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} f: x \in D \mapsto f(x) \in \mathbb{R} \end{equation*}$

Con un abuso di notazione, la funzione $f:D \to \mathbb{R}$ , detta funzione determinata da $f(x)$ , si indica con lo stesso simbolo usato per l’operazione che la determina.

$\quad$

Facciamo qualche esempio pratico per chiarire meglio la questione.

Esempio 2 (denominatori). Determiniamo l’insieme di definizione di

(2) $\begin{equation*} f(x)=\frac{1}{x-1}. \end{equation*}$

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori $x\in \mathbb{R}$ per i quali il denominatore è non nullo (altrimenti l’operazione di divisione non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di $f(x)$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R} \; :\; x-1 \neq 0\}=\{x\in \mathbb{R} \; : \; x \neq 1\}=\mathbb{R}\setminus \{1\},$

ovvero tutto l’insieme $\mathbb{R}$ escluso il punto $x=1$ .

La funzione determinata da (2) è dunque

$f: \mathbb{R}\setminus \{1\} \to \mathbb{R}, \; f(x)=\frac{1}{x-1}.$

In generale, supponiamo che $f(x)$ sia esprimibile come

$f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)}.$

Allora il dominio di $f$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in {\rm Dom}(g) \; :\; g(x)\neq 0\} \cap {\rm Dom}(h).$

$\quad$

Figura 1: grafico della funzione $f$ (in blu) determinata da (2).

$\quad$

Esempio 3 (radice quadrate). Determiniamo l’insieme di definizione di

(3) $\begin{equation*} f(x)=\sqrt{x-1}. \end{equation*}$

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di $x\in \mathbb{R}$ per i quali l’argomento della radice è non negativo (altrimenti l’operazione di radice quadrata non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di $f$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R} \; :\; {x-1} \ge 0\}=\{x\in \mathbb{R} \; : \; x \ge 1\}=[1, +\infty).$

La funzione determinata da (3) è dunque

$f: [1, +\infty)\to \mathbb{R}, \; f(x)=\sqrt{x-1}.$

In generale, se in $f(x)$ sono coinvolte radici quadrate, per esempio

$f(x)=\sqrt{g(x)},$

allora il dominio di $f$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in {\rm Dom}(g) \; :\; g(x)\ge 0\}.$

$\quad$

Figura 2: grafico della funzione $f$ (in blu) determinata da (3).

$\quad$

Esempio 4 (logaritmi). Sia $a \in \mathbb{R}$ tale che $a>0$ e $a\neq 1$ un numero fissato. Determiniamo l’insieme di definizione di

(4) $\begin{equation*} f(x)=\log_a (x-1), \end{equation*}$

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di $x\in \mathbb{R}$ per i quali l’argomento del logaritmo è positivo (altrimenti non sarebbe ben definito il logaritmo). Dunque in questo caso il “dominio” di $f$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R} \; :\; {x-1} > 0\}=\{x\in \mathbb{R} \; : \; x >1\}=(1, +\infty).$

La funzione determinata da (4) è dunque

$f: (1, +\infty)\to \mathbb{R}, \; f(x)=\log_a (x-1).$

In generale, se in $f(x)$ sono coinvolti dei logaritmi, per esempio

$f(x)=\log_a(g(x)),$

allora il dominio di $f$
è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in {\rm Dom}(g) \; :\; g(x) > 0\}.$

$\quad$

Figura 3: grafico della funzione $f$ (in blu) determinata da (4).

$\quad$

I tre esempi riportati qui sopra, sebbene non esauriscano tutti i casi possibili (basti pensare alle funzioni trigonometriche e alle loro inverse), rappresentano una buona base sulla quale esercitarsi nella determinazione del dominio naturale di una funzione reale di variabile reale. Nella pratica, bisogna
combinare in modo opportuno quanto riportato negli esempi precedenti, come mostra il prossimo Esempio.

Esempio 5 (denominatori e radici quadrate). Determiniamo l’insieme di definizione di

(5) $\begin{equation*} f(x)=\frac{\sqrt{x}}{2x^2-3}. \end{equation*}$

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di $x\in \mathbb{R}$ per i quali il termine sotto radice sia non negativo e il termine al denominatore sia non nullo. Dunque in questo caso il “dominio” di $f$ è l’insieme

${\rm Dom}(f)=\{x\in \mathbb{R} \; :\; {x} \ge 0 \quad \text{e} \quad 2x^2-3 \neq 0\}.$