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Controimmagine di una funzione

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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La controimmagine di una funzione f di un sottoinsieme B del suo codominio coincide con l’insieme degli elementi del dominio la cui immagine tramite f appartiene a B. In maniera informale, f^{-1}(B) è l’insieme dei valori che, dati “in input” a f, forniscono un “output” nell’insieme B.

In questo articolo diamo la definizione precisa di questa nozione, ne esaminiamo le proprietà e la illustriamo con esempi e figure.


 
 

Controimmagine di una funzione

Analizziamo ora il concetto di controimmagine, che costituisce in un certo senso la nozione inversa dell’immagine.

Definizione 1 (controimmagine).
Sia f \colon E \to F una funzione e sia B \subseteq F. Si dice controimmagine (o preimmagine) di B tramite f il sottoinsieme di E definito da

(1) \begin{equation*} f^{-1}(B) \coloneqq \{ x \in E \colon f(x) \in B \}\subseteq E. \end{equation*}

\[\quad\]

Osservazione 2. Se f \colon E \to F, la controimmagine di un sottoinsieme B \subseteq F del codominio di una funzione f è quindi costituita dagli elementi di E (se ve ne sono) la cui immagine appartiene a B. Determinare la controimmagine di un sottoinsieme B del codominio corrisponde dunque a determinare le soluzioni x, con x \in E, dell’equazione f(x)=y, al variare di y \in B. In particolare, dato y_0 nel codominio di f, determinare f^{-1}(\{y_0\}) equivale a risolvere l’equazione nella variabile x \in E

(2) \begin{equation*} f(x)=y_0. \end{equation*}

Osservazione 3. Sia f \colon E \to F una funzione. Se B \subseteq F è un intervallo del tipo [y_1,y_2], per determinare f^{-1}(B), si può pensare di “tagliare” il piano con una striscia orizzontale compresa tra l’estremo inferiore y= y_1 e l’estremo superiore y=y_2 e considerare solo le parti di grafico comprese in tale striscia. Le ascisse dei punti appartenenti a questa parte di grafico costituiscono quindi la controimmagine cercata. In particolare, determinare f^{-1}([y_1,y_2]) equivale a risolvere una doppia disequazione nella variabile x \in E

(3) \begin{equation*} y_1 \leq f(x)\leq y_2. \end{equation*}

Esempio 4. Si consideri la funzione il cui grafico è rappresentato in blu in figura 1.
Per determinare la controimmagine f^{-1}([2,3]) tramite f dell’intervallo [2,3], si può immaginare una striscia orizzontale (ombreggiata in blu nella figura) delimitata dalle rette di equazioni y=2 e y=3 e di considerare le porzioni di grafico che intersecano tale striscia. Le ascisse di tali punti costituiscono f^{-1}([2,3]) e sono gli intervalli [a,b] e [c,d] rappresentati in verde in figura 1.

\[\quad\]

Figura 1: la controimmagine dell’intervallo [2,3] di una funzione.

\[\quad\]

Esempio 5. Definiamo la funzione f \colon x \in [0,+\infty) \mapsto \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbb{R}.

\[\quad\]

  • Calcoliamo la controimmagine tramite f dell’insieme [1,+\infty), cioè il sottoinsieme del dominio {\rm Dom}(f) = [0,+\infty) dato da

    (4) \begin{equation*} f^{-1}\big([1,+\infty) \big) = \{x \in [0,+\infty) \colon f(x) \in [1,+\infty)\}. \end{equation*}

    Osserviamo che, se x \in [0,+\infty), allora

    (5) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{2}x + 1 \geq 1. \end{equation*}

    Quindi f(x) \in [1,+\infty), cioè ogni elemento del dominio ha immagine in [1,+\infty). Abbiamo dunque {\rm Dom}(f) \subseteq f^{-1}\big([1,+\infty) \big); ma poiché f^{-1}\big([1,+\infty) \big) \subseteq {\rm Dom}(f) per definizione, si ha

    (6) \begin{equation*} f^{-1}\big([1,+\infty) \big) = {\rm Dom}(f) = [0,+\infty). \end{equation*}

    •  

  • Calcoliamo invece

    (7) \begin{equation*} f^{-1}\big((-2,0) \big) = \{x \in [0,+\infty) \colon f(x) \in (-2,0)\}. \end{equation*}

    Come abbiamo visto in (5), si ha

    (8) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{2}x + 1 \geq 1 \qquad \forall x \in [0,+\infty). \end{equation*}

    Per nessun numero x appartenente al dominio, quindi, si ha f(x) \in (-2,0). Occorre allora concludere che

    (9) \begin{equation*} f^{-1}\big((-2,0) \big) = \emptyset. \end{equation*}

Esempio 6. Sia a \colon n \in \mathbb{N} \mapsto \frac{1}{n} \in \mathbb{R} una successione.

\[\quad\]

  • Calcoliamo la controimmagine dell’intervallo (\frac{1}{4},2], cioè

    (10) \begin{equation*} f^{-1}\bigg(\Big(\frac{1}{4},2\Big]\bigg) = \bigg\{ n \in \mathbb{N} \colon a(n)=a_n \in \Big(\frac{1}{4},2\Big] \bigg\}. \end{equation*}

    Occorre cioè trovare i numeri naturali n \in \mathbb{N} tali che \frac{1}{n} soddisfi la disuguaglianza

    (11) \begin{equation*} \frac{1}{4} < \frac{1}{n} \leq 2. \end{equation*}

    Poiché una disuguaglianza tra i reciproci di numeri positivi equivale alla disuguaglianza opposta tra i numeri stessi, (11) è equivalente a

    (12) \begin{equation*} 4 > n \geq \frac{1}{2}. \end{equation*}

    Poiché n è un numero naturale, tutte e sole le soluzioni di tale disuguaglianza sono gli elementi dell’insieme \{1,2,3\}. Si ha quindi

    (13) \begin{equation*} f^{-1}\bigg(\Big(\frac{1}{4},2\Big]\bigg) = \{1,2,3\}. \end{equation*}

    Si veda il grafico della successione a_n contenuto nella figura 2 per una intuizione visiva di tale risultato: si cercano le ascisse di tutti i punti in blu la cui ordinata appartiene all’insieme (\frac{1}{4},2]; si può immaginare di “tagliare” il piano con una striscia orizzontale compresa tra l’estremo inferiore y= \frac{1}{4} e l’estremo superiore y=2 e considerare solo le parti di grafico comprese in tale striscia. Le ascisse dei punti appartenenti a questa parte di grafico costituiscono quindi la controimmagine cercata.

\[\quad\]

Figura 2: la controimmagine, tramite la successione a dell’esempio 1.6, dell’insieme (\frac{1}{4},2) (rappresentata in verde sull’asse x).

\[\quad\]

Proposizione 7 (unione e intersezione di controimmagini). Sia f \colon E \to F una funzione e siano A,B \subseteq F. Allora, vale

\[\quad\]

  1. (14) \begin{equation*} f^{-1}(A\cup B)= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B); \end{equation*}

    2.  

  2. (15) \begin{equation*} f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B). \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione.

\[\quad\]

  1. Si ha

    \[\begin{aligned} f^{-1}(A\cup B)&=\left\{ x\in E :f(x) \in A \vee f(x)\in B \right\}=\\ &= \left\{ x\in E :f(x) \in A \right\}\cup \left\{ x\in E : f(x)\in B \right\}= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B). \end{aligned}\]

    2.  

  2. Si ha

    \[\begin{aligned} f^{-1}(A\cap B) &=\left\{ x\in E :f(x) \in A \wedge f(x)\in B \right\}=\\ &= \left\{ x\in E :f(x) \in A \right\}\cap \left\{ x\in E : f(x)\in B \right\}= f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B). \end{aligned}\]