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Radici dei numeri complessi: esercizi misti sul calcolo

Radice di un numero complesso

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Qquesto ticolo articolo offre una raccolta strutturata di esercizi progettati per approfondire lo studio delle radici dei numeri complessi. Questa risorsa, completa di soluzioni dettagliate, è stata pensata per supportare studenti, insegnanti e chiunque desideri consolidare le proprie competenze in questo ambito della matematica.

Grazie a una selezione di esercizi mirati, il documento consente di sviluppare un’analisi rigorosa e sistematica delle tecniche di calcolo, fornendo una base solida per l’applicazione dei numeri complessi in contesti teorici e pratici. È uno strumento ideale per integrare lo studio accademico e affrontare con maggiore sicurezza tematiche avanzate legate a questo argomento.

 

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.


 

Sommario

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Il documento “Esercizi misti sul calcolo delle radici dei numeri complessi” offre una panoramica completa ed esercizi specifici sul calcolo delle radici dei numeri complessi. L’articolo contiene esercizi che vanno dal calcolo delle radici n-esime in varie forme, alla soluzione di equazioni polinomiali complesse. Ogni sezione contiene esercizi seguiti da soluzioni dettagliate e spiegazioni, rendendo questo documento una risorsa preziosa per lo sviluppo di competenze pratiche nel problem solving con i numeri complessi.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

\[z = \sqrt{ \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} }.\]

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso sotto radice in forma algebrica w = a + \imath b e poi risolvere l’equazione

\[z^2 = w\]

per trovare le due radici quadrate di w.

Svolgimento.

Iniziamo con lo scrivere il numero complesso dentro la radice in forma algebrica. Sviluppando le potenze si ottiene

\[w := \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} = \frac{1 - 1 + 2 \imath}{1 + \imath - 3 \imath - 3} = \frac{\imath}{-1-\imath},\]

per cui possiamo razionalizzare come fatto nell’esercizio precedente:

\[w = \frac{\imath}{-1-\imath} \frac{-1+\imath}{-1+\imath} = - \frac12 (1+\imath).\]

Di conseguenza, per concludere l’esercizio ci basta trovare le due soluzioni dell’equazione complessa

\[z^2 = w.\]

Per risolverla possiamo, ad esempio, sfruttare la forma trigonometrica di un numero complesso. Infatti, se scriviamo

\[w = \rho \left[ \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right],\]

allora un semplice calcolo mostra che

\[\rho = \sqrt{ \left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2 } = \frac{\sqrt 2}{2} \quad \text{e} \quad \vartheta = -\frac34 \pi.\]

L’equazione si può dunque riscrivere come

\[z^2 = \frac{\sqrt 2}{2} \left[ \cos \left( -\frac34 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac34 \pi \right) \right],\]

da cui segue immediatamente che

\[z_1 =\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \frac58 \pi + \imath \sin \frac58 \pi \right] \quad \text{e} \quad z_2 = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \left( -\frac38 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac38 \pi \right) \right]\]

sono le due soluzioni dell’equazione.


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare le seguenti radici

\[\begin{aligned} & z_1 = \sqrt[6]{-1},\quad z_2 =\ \sqrt{-2 \imath},\quad z_3 = \sqrt[3]{5}, \quad z_4 = \sqrt[4]{1+\imath}, \\& z_5 = \sqrt[5]{1-\imath},\quad z_6 = \sqrt{-1+\sqrt{3\imath}},\quad z_7 = \sqrt[4]{-2-2\sqrt{3\imath}}. \end{aligned}\]

Suggerimento.

Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, risolvendo w^n = z per il corrispettivo valore di n \in \mathbb N.

Introduzione.

Per trovare le radici n-esime di z_j \in \mathbb C è sufficiente risolvere l’equazione

\[z^n = z_j,\]

perciò svolgiamo solo alcuni degli esempi proposti e lasciamo il resto per il lettore.

Svolgimento punto 1.

Nel primo caso, ad esempio, dobbiamo risolvere

\[z^6 = -1,\]

e questo si può fare scrivendo entrambi i membri in forma esponenziale:

\[|z|^6 \mathrm{e}^{\imath 6 \vartheta} = 1 \mathrm{e}^{- \imath \pi}.\]

L’equazione è del tutto equivalente al sistema reale

\[\begin{cases}|z|^6 = 1, \\ 6 \vartheta = - \pi + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi), \end{cases}\]

da cui segue che |z|=1, mentre \vartheta ha sei soluzioni nell’intervallo ovvero

\[\vartheta_k = - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi, \quad \text{con } k = -2,-1,\ldots,3.\]

In particolare, le soluzioni dell’equazione (ovvero le radici seste di -1) sono

\[ z_k = \cos \left( - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi \right) + \imath \sin \left(- \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi\right), \qquad \text{per } k = -2, -1, \ldots, 3. \]

Svolgimento punto 4.

Nel quarto caso abbiamo

\[z^4 = 1+ \imath \implies |z|^4 \mathrm{e}^{\imath 4 \vartheta} = \sqrt 2 \mathrm{e}^{(\imath\pi)/4},\]

che è equivalente al sistema reale

\[\begin{cases}|z|^4 = \sqrt{2}, \\ 4 \vartheta = \pi/4 + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

Il modulo è quindi dato da |z|=\sqrt[8]{2}, mentre gli angoli sono rispettivamente

\[\vartheta_k = \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2}, \quad \text{con } k = -2,-1,0,1.\]

In particolare, le radici quarte di 1+\imath sono

\[ z_k = \sqrt[8]{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) + \imath\sin \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) \right], \qquad \text{per } k \in \{-2, -1, 0,1\}. \]


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

\[z =\sqrt{ \frac{\sqrt{3}}{3}+\imath }.\]

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