Esercizi base sui numeri complessi

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Scopri la ricchezza e la varietà degli esercizi sui numeri complessi nel nostro articolo “Numeri Complessi: Espressioni”. Questo documento offre una raccolta meticolosa di esercizi, ideale sia per studenti che per appassionati di matematica, per esplorare e padroneggiare vari aspetti dei numeri complessi. Dalla conversione delle espressioni complesse in forma algebrica al calcolo del modulo, ogni esercizio è progettato per affinare la tua comprensione e abilità nel maneggiare i concetti fondamentali dei numeri complessi. Immergiti nelle sfide matematiche che abbiamo preparato per te!

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Il documento “Numeri Complessi: Espressioni” include una serie di esercizi dettagliati sui numeri complessi. Copre argomenti come la forma algebrica dei numeri complessi, il calcolo del modulo, la conversione in forma trigonometrica ed esponenziale, e varie operazioni con i numeri complessi. Ogni esercizio è seguito da una soluzione dettagliata che fornisce una guida passo-passo per comprendere meglio i concetti e le tecniche impiegate. Questo documento è ideale per chi cerca di approfondire la propria comprensione dei numeri complessi attraverso esercizi pratici.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

$z_1 = \dfrac{3-\imath}{4-\imath}$

$z_2 = \dfrac{4-3\imath}{(2+\imath)^2}$

$z_3 = \dfrac{(2\sqrt{3}+\imath)^3}{\sqrt{3}-\imath}$

$z_4 = \dfrac{\mathrm{e}^{2+\imath}}{\mathrm{e}^{3-2\imath}}$

$z_5 = \dfrac{2-\imath}{2+\imath}$

$z_6= \mathrm{e}^{-2+3\imath}$

$z_7 = \mathrm{e}^{(2+\imath)^3}$

$z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6}$

Suggerimento.

Nel caso di un rapporto tra due numeri complessi si può “razionalizzare” il denominatore. Per quanto riguarda i numeri complessi in forma esponenziale, è utile ricordarsi la formula di Eulero:

$\mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta \right].$

Introduzione.

Poiché il procedimento è pressoché identico per tutti i casi, ne illustreremo solo alcuni esempi tratti dall’esercizio e lasceremo gli altri al lettore come esercizio pratico. Consideriamo due scenari distinti:

Svolgimento punti 1 e 3.

Se $z$ è dato dal rapporto tra due numeri complessi, ovvero

(1) $\begin{equation*} z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma}, \end{equation*}$

allora si può “razionalizzare” moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. In particolare, abbiamo l’uguaglianza

$z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma} \cdot \frac{\delta - \imath \gamma}{\delta - \imath \gamma} = \frac{(\alpha + \imath \beta)(\delta - \imath \gamma) }{\delta^2 + \gamma^2}.$

A questo punto, solo il numeratore risulta essere un numero complesso ed è facile identificare parte reale e immaginaria di $z$ , risolvendo così l’esercizio:

$z = \frac{1}{\delta^2+\gamma^2} \left[ (\alpha \delta + \beta \gamma) + \imath ( \beta \delta - \alpha \gamma )\right].$

Applichiamo ora quanto detto all’esercizio. Ad esempio, dato $z_1$ si vede immediatamente che

$z_1 = \frac{3-\imath}{4-\imath} \cdot \frac{4+\imath}{4+\imath} = \frac{13 - \imath}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1 }{17}\imath.$

Se consideriamo $z_3$ , per ridursi alla forma (1) è prima necessario sviluppare il numeratore come segue:

$\begin{aligned} (2\sqrt{3}+\imath)^3 & = 8 \cdot 3 \sqrt 3 + \imath^3 + 6 \sqrt3 \imath^2 + 3 (2 \sqrt3)^2 \imath = \\ & = 24 \sqrt3 - \imath - 6 \sqrt3 + 36 \imath = \\ & = 18 \sqrt{3} + 35 \imath. \end{aligned}$

A questo punto si procede come nel caso precedente per concludere:

$z_3 = \frac{18 \sqrt{3} + 35 \imath}{ \sqrt{3}-\imath} \cdot \frac{\sqrt{3}+\imath}{\sqrt{3}+\imath}= \frac{54+18\sqrt{3}\imath+35\sqrt{3}\imath-35}{4} = \frac{19}{4} + \frac{53 \sqrt{3}}{4} \imath.$

Svolgimento punti 4, 6 e 8.

Se $z$ è dato in forma esponenziale, ovvero $z = \mathrm{e}^w$ per qualche $w \in \mathbb C$ , allora è sufficiente scrivere $w = \alpha + \imath \beta$ e poi applicare la formula di Eulero:

$z = \mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta\right].$

Ad esempio, abbiamo

$z_6 = \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^{3 \imath} = \frac{ \cos (3)}{\mathrm{e}^2} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}^2},$

o, analogamente, anche

$z_4 = \mathrm{e}^{2+\imath - (3-2\imath)} = \mathrm{e}^{-1+3\imath} = \frac{\cos(3)}{\mathrm{e}} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}} .$

Il caso di $z_8$ è leggermente diverso da trattare perché, prima di applicare la formula data sopra, bisogna calcolare esplicitamente l’esponente

$(1- \imath)^6.$

In questi casi, piuttosto che sviluppare il prodotto esplicitamente, conviene scrivere il numero complesso in forma trigonometrica/esponenziale, ovvero

$1 - \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{- \frac\pi4 \imath},$

e poi prenderne la potenza richiesta:

$(1-\imath)^6 = 8 \mathrm{e}^{- \frac32 \pi \imath + 2 \pi \imath} = 8 \mathrm{e}^{\frac\pi2 \imath} = 8 \imath.$

Abbiamo aggiunto $2 \pi$ perché, per convenzione, l’argomento principale è quello contenuto nell’intervallo $[-\pi,\pi)$ . A questo punto è facile vedere che