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Esercizi su equazioni con i numeri complessi

Equazioni con i numeri complessi

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L’articolo “Esercizi su equazioni con i numeri complessi” presenta una raccolta strutturata di esercizi progettati per approfondire lo studio delle equazioni nei numeri complessi. Il documento include problemi che spaziano da quesiti introduttivi a esercizi più avanzati, con l’obiettivo di sviluppare una comprensione solida e applicabile in contesti teorici e pratici.

Ogni esercizio è accompagnato da soluzioni dettagliate e spiegazioni rigorose, per supportare studenti, insegnanti e studiosi nell’analisi e nella risoluzione delle equazioni. La guida fornisce un percorso didattico chiaro e progressivo, consentendo di consolidare competenze fondamentali e di affrontare con maggiore sicurezza le sfide matematiche proposte.

L’articolo rappresenta uno strumento utile per chi desidera perfezionare le proprie conoscenze e applicare le tecniche del calcolo delle equazioni con i numeri complessi in maniera accurata e metodica.

 

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.


 

Sommario

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L’articolo “Numeri Complessi: Equazioni” comprende una serie di esercizi accuratamente selezionati sui numeri complessi, orientati verso lo sviluppo e il perfezionamento delle tecniche di risoluzione problemi. Il documento contiene esercizi che variano in difficoltà e complessità, inclusi argomenti come la risoluzione di equazioni polinomiali e sistemi di equazioni nei numeri complessi. Ogni esercizio è accompagnato da soluzioni dettagliate e spiegazioni per fornire un approccio approfondito e pratico al problem solving nel contesto dei numeri complessi.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni nel campo dei numeri complessi:

 

  1. x^2-4x+5=0;

    2.  

  2. 2x^2-2x+1=0;

    3.  

  3. x^2-5x+7=0;

    4.  

  4. \imath x^2 -2x - 2 \imath = 0.

Suggerimento.

Si può applicare la formula risolutiva per equazioni di secondo grado facendo attenzione al segno del \Delta.

Introduzione.

Ricordiamo che per una equazione generica del secondo ordine

(1) \begin{equation*} x^2 + bx + c=0, \end{equation*}

la formula risolutiva è data da

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2}, \quad \text{con } \Delta = b^2 - 4c.\]

Svolgimento punto 1.

Per la prima equazione abbiamo \Delta = 16-20 = -4, per cui \sqrt{-4} non è definita nei numeri reali. Detto questo, sfruttiamo l’unità immaginaria per scrivere

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm \imath,\]

quindi le soluzioni sono complesse e coniugate1.

 

\[\]

  1. Questo è un fatto valido in generale, ovvero ogni polinomio p(x) (di qualsiasi grado) a coefficienti reali soddisfa la seguente proprietà:

    \[p(z) = 0 \iff p(\bar z)=0.\]

    ↩

Svolgimento punto 2.

Per la seconda dividiamo per riportarla alla forma (1), ottenendo

\[2x^2-2x+1=0 \iff x^2 - x + \frac12 = 0.\]

Si ha

\[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\imath}{2},\]

ovvero anche in questo caso le soluzioni sono complesse e coniugate.

Svolgimento punto 3.

Analogamente per la terza equazione abbiamo le due soluzioni

\[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-28}}{2} = \frac{5}{2} \pm \imath \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Svolgimento punto 4.

L’ultima equazione deve essere prima riportata nella forma (1), quindi dividiamo per \imath ed otteniamo

\[\imath x^2 -2x - 2 \imath = 0 \iff x^2 - \frac2\imath x - 2 = 0.\]

Sfruttando l’identità \imath^2 = -1 il delta della equazione è dato da

\[\Delta = \frac{4}{\imath^2} + (-4)(-2) = - 4 +8 = 4,\]

da cui le soluzioni della equazione sono

\[x_{1,2} = \frac{\frac{2}{\imath} \pm 2}{2} = \frac1\imath \pm 1,\]

e questo conclude.

Osservazione.

È interessante notare che le soluzioni della quarta non sono coniugate. Il motivo è che l’equazione

\[\imath x^2 - 2x - 2 \imath = 0\]

è a coefficienti complessi, ed è facile vedere che applicando il coniugio si ottiene una equazione non equivalente alla precedente, ovvero

\[- \imath x^2 - 2x + 2 \imath = 0,\]

dato che non è possibile ottenerla dalla prima tramite nessuna manipolazione algebrica (ad esempio, moltiplicare per -1 o simili).


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni nei complessi:

 

  1. | |z|-2\imath|^2 = 4;

    2.  

  2. |z|^2=12-|z|;

    3.  

  3. \mathfrak{Im}(z^2)=|z|^2;

Suggerimento.

Nella prima e nella terza conviene sviluppare il modulo e poi, se necessario, passare alla forma algebrica di z Nel secondo caso, invece,

\[|z|^2+|z|-12 = 0\]

si può inizialmente trattare come una equazione nella variabile reale |z|.


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