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Teoremi della permanenza del segno, del confronto e dei carabinieri per funzioni in più variabili

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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I teoremi della permanenza del segno e del confronto sono degli utilissimi strumenti della teoria dei limiti. Mentre il primo implica che una funzione avente limite positivo mantiene tale segno in un intorno del punto, i teoremi di confronto consentono invece di dedurre l’esistenza del limite e il suo valore, utilizzando appunto delle disuguaglianze con altre funzioni. Quest’ultima caratteristica è estremamente utile nella pratica, in quanto permette di ottenere l’esistenza di un limite studiando invece dei limiti solitamente più semplici da calcolare.

In questo articolo mostriamo come questi strumenti si applichino anche al caso di funzioni di più variabili a valori reali.


 

Teorema della permanenza del segno

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Dimostriamo innanzitutto che, se il limite di una funzione scalare ha un segno, allora la funzione ha definitivamente lo stesso segno per x vicino a x_0

\[\quad\]

Proposizione 1 (permanenza del segno). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, x_0 un punto di accumulazione per E e f \colon E \to \mathbb{R} una funzione. Supponiamo inoltre che f ammetta limite \ell in x_0.

\[\quad\]

  • Se \ell >0 (incluso il caso +\infty), allora esiste \delta >0 tale che f(x) >0 per ogni x \in E \cap B_{\delta}(x_0) \setminus \{ x_0 \}.

    •  

  • Se \ell <0 (incluso il caso -\infty), esiste \delta>0 tale che f(x) < 0 in B_{\delta}(x_0) \cap E \setminus \{ x_0 \}.

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo solamente la prima affermazione, la seconda si dimostra in maniera analoga.

Supponiamo che 0<\ell \in \mathbb{R} e fissiamo \varepsilon = \frac{\ell}{2}>0; per definizione di limite esiste \delta > 0 tale che

\[ x \in E \cap B_{\delta}(x_0) \setminus \{ x_0 \} \implies \lvert f(x)-\ell \rvert < \frac{\ell}{2}. \]

Esplicitiamo l’ultima espressione così da avere:

\[ \lvert f(x) - \ell \rvert < \frac{\ell}{2} \implies f(x) > \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2} > 0 \quad \forall x \in E \cap B_{\delta(x_0)} \setminus \{ x_0 \}. \]

La dimostrazione nel caso \ell = +\infty procede allo stesso modo sfruttando la diseguaglianza “dal basso” fornita dalla definizione di divergenza positiva.

Una conseguenza del teorema della permanenza del segno ci garantisce come, per funzioni a valori scalari, il limite preservi l’ordinamento, ossia se in un intorno una funzione è “più piccola” di un’altra, allora i rispettivi limiti sono ordinati allo stesso modo.

\[\quad\]

Corollario 2 (disuguaglianze al limite). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, x_0 \in \mathbb{R}^n un punto di accumulazione per E e siano f,g \colon E \to \mathbb{R} due funzioni. Se esiste r>0 tale che

\[ f(x) \leq g(x) \qquad \forall x \in E \cap B_r(x_0) \setminus \{ x_0\}, \]

ed esistono

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \qquad \text{ con } \ell_1,\ell_2 \in \mathbb{R}, \]

allora

\[ \ell_1 \leq \ell_2. \]

\[\quad\]

Dimostrazione. Se valesse \ell_1>\ell_2, la funzione f-g avrebbe limite positivo in x_0. Dal teorema di permanenza del segno 1 esisterebbe \delta>0 tale che

\[ f(x)- g(x)>0 \qquad \forall x \in E \cap B_\delta(x_0) \setminus\{x_0\}, \]

che però contraddirebbe l’ipotesi f(x)\leq g(x) in un intorno di x_0 data dall’enunciato.


 

Teorema del confronto per limiti infiniti

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