Punti isolati e di accumulazione in spazi euclidei

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

Le nozioni di punto isolato e di accumulazione di un sottoinsieme di costituiscono una classificazione del comportamento di negli intorni di un punto : tale si dice un punto isolato di se esso è il solo punto di in una palla sufficientemente piccola centrata in . Altrimenti, di dice di accumulazione per se ogni palla centrata in contiene altri punti di ; in tale ultimo caso, i punti di appunto si accumulano vicino a e ciò giustifica la nomenclatura adottata.

In questo articolo presentiamo formalmente le due nozioni, le analizziamo dal punto di vista formale e grafico, e ne diamo delle caratterizzazioni utili nella pratica.

Dato , la sua chiusura è appunto pari all’unione di con la sua frontiera, ossia all’insieme dei punti che non sono interni al complementare, cioè tali che ogni palla centrata in contiene dei punti di . Quali sono le eventualità che possono presentarsi?

• Può succedere che tutte le palle centrate in contengano punti di distinti da ;

 

• oppure può esistere una palla centrata in che contiene, come unico punto di , stesso.

Queste duplice possibilità porta alle seguenti definizioni.

Mentre un punto isolato di appartiene, per definizione, all’insieme , un punto di accumulazione per può anche non appartenervi. Inoltre, si vede subito che i punti interni a un insieme sono di accumulazione per esso.

Esempio 2. Sia , , e consideriamo l’insieme , come illustrato in figura 1. Studiamo la natura dei punti e rispetto a .

Figura 1: l’insieme e i punti e dell’esempio 2.

• Il punto è isolato per l’insieme in quanto ad esempio la palla ha intersezione con pari al solo punto . Infatti, tale intersezione contiene , ma qualunque altro punto che appartenga a dovrebbe verificare e ; per la disuguaglianza triangolare dovrebbe aversi

  

  che è assurdo.

 

• Il punto è invece di accumulazione per . Infatti per ogni l’intersezione contiene la palla di centro e raggio pari al minimo tra e . Alternativamente, possiamo osservare che è interno per dunque, per quanto detto precedentemente, esso è di accumulazione per .

 

• Il punto è di frontiera per , poiché è di frontiera per la palla come si può facilmente notare dato che ogni palla contiene sia il punto , appartenente a , sia il punto , che non vi appartiene. Inoltre il punto è anch’esso di accumulazione per , in quanto per ogni la palla contiene il punto , che appartiene a ed è diverso da .

Osservazione 3. Un punto isolato per è di accumulazione per ; infatti, se è isolato per , esiste tale che . Pertanto per ogni si ha

dunque in particolare è di accumulazione per .