Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Limiti in più variabili e teorema di unicità del limite

Teoria Funzioni di più variabili

Home » Limiti in più variabili e teorema di unicità del limite

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

Leggi...

Il concetto di limite, uno dei più importanti dell’Analisi Matematica, può essere esteso abbastanza agevolmente a funzioni di più variabili. Esso formalizza l’idea intuitiva del valore a cui si avvicinano i valori f(x), quando la variabile x si avvicina al punto x_0 e consente di trattare in maniera rigorosa la nozione di continuità di una funzione.

In questo articolo riportiamo la definizione di limite, illustrandola con esempi e figure, e il teorema di unicità del limite che assicura che, se il limite di una funzione esiste, allora esso è unico.


 
 

Definizione di limiti in più variabili

Leggi...

Ricordiamo preliminarmente che un punto x \in \mathbb{R}^n è detto di accumulazione per un insieme E \subseteq \mathbb{R}^n se per ogni r>0 la palla B_r(x) contiene punti di E diversi da x.

Definizione 1 (limite di funzione). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, sia x_0 \in \mathbb{R}^n un punto di accumulazione per E e sia f \colon E \to \mathbb{R}^m una funzione. Si dice che \ell \in \mathbb{R}^m è il limite di f in x_0 o che f converge a \ell per x \to x_0 se, per ogni \varepsilon > 0, esiste \delta > 0 tale che

(1) \begin{equation*} \| f(x)-\ell \| <\varepsilon \qquad \forall x \in E \cap B_{\delta}(x_0) \setminus \{ x_0 \}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell, \]

Qualora \ell = 0, si dice che la funzione è infinitesima in x_0.

Se m=1, ossia il codominio della funzione è \mathbb{R}, si dice che f diverge positivamente in x_0 se per ogni M>0 esiste \delta > 0 tale che

(2) \begin{equation*} f(x)>M \qquad \forall x \in E \cap B_{\delta}(x_0) \setminus \{ x_0 \}. \end{equation*}

In tal caso si scrive \lim_{x \to x_0} f(x)= +\infty. Vale una definizione analoga per funzioni divergenti negativamente.

\[\quad\]

La definizione di limite per funzioni in più variabili estende quella per funzioni di una variabile e infatti il significato intuitivo della nozione di limite è lo stesso, ossia il valore \ell a cui si avvicinano i valori assunti da f quando x si avvicina a x_0, figura 1.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: limite di una funzione in un punto.

\[\quad\]

Osservazione 2. Nel caso n=1 ed m=1, questa definizione coincide con l’usuale definizione di limite per funzioni reali di variabile reale. Inoltre nel caso in cui n=1, è possibile dare la definizione di limite destro e limite sinistro in un punto x_0 esattamente come avveniva nel caso unidimensionale.

Chiaramente quando il codominio ha dimensione m>1 non ha senso chiedersi cosa significhi per una funzione divergere positivamente o negativamente siccome non c’è un modo naturale di ordinare lo spazio \mathbb{R}^m.

Riportiamo che, nel caso n=2, talvolta indicheremo i punti esplicitando le coordinate così da scrivere (per esempio nel caso convergente)

\[ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \ell. \]


 
 

Teorema di unicità del limite

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi