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Introduzione alle curve

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Le curve sono oggetti dall’aspetto unidimensionale in spazi a più dimensioni. Infatti, esse possono essere immaginate come delle deformazioni di rette e segmenti nello spazio: la traiettoria percorsa da un punto durante il suo moto, la forma che una corda appesa ai suoi estremi assume sotto l’azione della gravità sono tutti esempi fisici del concetto di curva.

In questo articolo introduciamo la nozione di curva e le sue proprietà più semplici, fornendo numerosi esempi illustrati al fine di chiarirne la natura.


 
 

Le curve: definizione e proprietà

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Una naturale generalizzazione del concetto di funzione da \mathbb{R} in \mathbb{R} consiste nel passaggio da funzioni scalari (ossia aventi come codominio \mathbb{R}) alle funzioni vettoriali (ossia aventi come codominio \mathbb{R}^m). Una funzione \varphi \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m è detta funzione di variabile reale a valori vettoriali.

Poiché il codominio di una funzione \varphi \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m è \mathbb{R}^m, essa associa a ogni t \in A una m-upla di numeri reali (x_1(t),x_2(t),\dots,x_m(t)), e pertanto tale funzione viene usualmente scritta come

\[ \varphi(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \ldots \\ x_m(t) \end{pmatrix} , \quad \text{oppure} \quad \varphi(t) = \Bigl( x_1(t), x_2(t), \ldots, x_m(t) \Bigr) \qquad \forall t \in A. \]

Ciascuna delle m funzioni che, a t \in A, associano x_1(t), x_2(t), \ldots, x_m(t) è detta componente di \varphi. Nel caso in cui m=2 o m=3, ossia il codominio sia lo spazio euclideo bidimensionale o tridimensionale, le funzioni componenti si denotano rispettivamente con x(t),y(t) e x(t),y(t),z(t).

Qualora il dominio della funzione sia un intervallo e la funzione \varphi sia continua, essa prende il nome di curva.

\[\quad\]

Definizione 1 (curva). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e m \in \mathbb{N}. Si dice curva una funzione \varphi \colon I \to \mathbb{R}^n che sia continua, ossia tale che le sue componenti x_i \colon I \to \mathbb{R}, date da

\[ \varphi(t)=\big(x_1(t),\dots,x_m(t)\big) \qquad \forall t \in I, \]

siano funzioni continue. L’immagine \operatorname{Im} \varphi di \varphi, ossia l’insieme dei punti dello spazio \mathbb{R}^m che sono immagine di qualche elemento t del dominio, viene detto sostegno della curva.

\[\quad\]

La definizione è estremamente chiara e facile da immaginare: una curva può essere visualizzata come la deformazione del segmento (a,b) (o semiretta o intero asse reale) in un oggetto che vive nello spazio \mathbb{R}^m.

Sebbene il sostegno di una curva corrisponda alla nozione intuitiva di curva, ossia un “oggetto unidimensionale deformato in più dimensioni”, è bene tenere a mente che, matematicamente, una curva e il suo sotegno sono oggetti diversi: la curva è una funzione, mentre il sostegno della curva è solo la sua immagine. A volte, per sottolineare il fatto che ci si riferisca alla funzione nella sua interezza e non al solo sostegno della curva, la funzione \varphi viene anche detta parametrizzazione della curva.

Un utilizzo delle curve avviene in fisica, dove esse descrivono generalmente le posizioni che occupa un punto durante il suo moto (legge oraria) ed in questo contensto t denota il tempo. In questa interpretazione, il sostegno della curva è invece la traiettoria del punto.

Definiamo ora i concetti di curve semplici e chiuse.

\[\quad\]

Definizione 2 (curve semplici e chiuse). Una curva \varphi \colon I \to \mathbb{R}^m si dice semplice se \varphi(t_1) = \varphi(t_2) solo per t_1=t_2 oppure se t_1 e t_2 sono gli estremi dell’intervallo I. Se I=[a,b], la curva si dice chiusa qualora \varphi(a) = \varphi(b).

\[\quad\]

Chiariamo meglio le due definizioni precedenti: una curva si dice semplice se non si autointerseca nei suoi punti interni. Immaginando che la curva sia la descrizione temporale del moto di un oggetto nello spazio, la curva si dice chiusa se l’oggetto ritorna al punto di partenza, formando per l’appunto un percorso chiuso.


 

Primi esempi di curve

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