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Interno, frontiera e chiusura di un insieme

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Le nozioni di interno, frontiera e chiusura di un insieme caratterizzano rispettivamente la parte “ben contenuta” in un insieme, il suo bordo e l’insieme dei punti a esso “aderenti”.

In questo articolo, esploriamo queste proprietà nello spazio euclideo a più dimensioni \mathbb{R}^n, fornendone numerosi esempi illustrati per offrire una comprensione profonda dei concetti.


 

Punti interni, esterni e di frontiera

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Cominciamo definendo cosa si intende per punto interno, esterno o di frontiera per un insieme.

\[\quad\]

Definizione 1 (punti interni, esterni e di frontiera) Sia dato un insieme E \subseteq \mathbb{R}^n e x \in \mathbb{R}^n. Il punto x si dice interno a E se esiste r>0 tale che B_r(x) \subseteq E. Invece, x si dice esterno a E se esso è interno al complementare E^c \coloneqq \mathbb{R}^n \setminus E di E. Se x non è né interno né esterno a E, allora si dice punto di frontiera per E.

Dunque x è interno a E significa non soltanto che appartiene a E, ma che esso è circondato da punti di E e non toccato da punti di \mathbb{R}^n \setminus E. Invece, un punto x è di frontiera per E se ogni palla centrata in x contiene sia punti di E che del suo complementare \mathbb{R}^n \setminus E. Ciò mostra anche che un punto è di frontiera per E se e solo se lo è anche per il suo complementare.

Sottolineiamo come un punto interno a E necessariamente appartiene a E poiché, per ogni r>0, la palla B_r(x) contiene necessariamente x.

Esempio 2. Consideriamo l’insieme E=B_r(x), ossia la palla aperta di centro x e raggio r, con x \in \mathbb{R}^n e r >0. Chiaramente x è un punto interno a E in quanto la palla stessa B_r(x) \subseteq E= B_r(x).

Proviamo inoltre che anche tutti i punti di B_r(x) sono punti interni a E. A tal fine, consideriamo y \in B_r(x) e chiamiamo s= r- \|x-y\|>0; vogliamo dimostrare che B_s(y) \subseteq E=B_r(x), come illustrato in figura 1.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: punti interni della palla.

\[\quad\]

Fissiamo z \in B_s(y) e proviamo che esso appartiene anche a B_r(x). A tal fine, la disuguaglianza triangolare implica

\[ \|z-x\| \leq \|z-y\| + \|y-x\| < s + \|y-x\| = r- \|y-x\| + \|y-x\|=r, \]

dove la seconda disuguaglianza è stretta poiché z \in B_s(y).

Esempio 3. Consideriamo il quadrato Q \coloneqq [0,1]\times[0,1] in \mathbb{R}^2 e studiamo la natura dei punti P_1 =\bigl( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \bigr), P_2 = (1,1), e P_3 = (2,2) rispetto ad esso. Cominciamo rappresentando graficamente il quadrato e i punti in questione in figura 2.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: il quadrato Q ed i punti P_1, \, P_2 e P_3 dell’esempio 3.

\[\quad\]

Dalla figura si evince facilmente come P_1 sia un punto interno, P_3 sia esterno e P_2 non sia né interno né esterno, dunque è di frontiera, come illustrato anche in figura 3. Dimostriamolo formalmente.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: palle centrate in P_1, \, P_2 ed P_3 dell’esempio 3.

\[\quad\]

  • Mostriamo che P_1 è interno a Q provando che la palla B_{\frac{1}{2}}(P_1) \subseteq Q: infatti, se x=(x_1,x_2) \in B_{\frac{1}{2}}(P_1), allora si ha

    \[ \biggl( x_1-\frac{1}{2} \biggr)^2 + \biggl( x_2 - \frac{1}{2} \biggr)^2 < \frac{1}{4}, \]

    che implica

    \[ \biggl \lvert x_1 - \frac{1}{2} \biggr \rvert <\frac{1}{2} \quad \text{ e } \quad \biggl \lvert x_2-\frac{1}{2} \biggr| < \frac{1}{2} \quad \iff \quad 0<x_1<1 \quad \text{ e } \quad 0<x_2<1, \]

    cioè (x,y) \in Q.

    •  

  • Mostriamo che P_2 è di frontiera; infatti, per ogni r>0 alla palla B_r(P_2) appartengono i punti \bigl( 1,1 + \frac{r}{2} \bigr) e \bigl( 1- \frac{r}{2},1-\frac{r}{2}); il primo appartiene a Q^c, il secondo appartiene a Q se r<1.

    •  

  • Come già detto precedentemente P_3 non può essere un punto interno a Q poiché non vi appartiene, ma possiamo notare che esso risulta interno all’insieme \mathbb{R}^2 \setminus Q, mostrando che la palla B_{\frac{1}{2}}(P_3) è contenuta in Q^c: infatti se x=(x_1,x_2) \in B_{\frac{1}{2}}(P_3), allora vale

    \[ (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 < \frac{1}{4}, \]

    che implica

    \[ \lvert x_1-2 \rvert < \frac{1}{2}, \quad \lvert x_2-2 \rvert < \frac{1}{2} \quad \iff \quad \frac{3}{2} < x_1 < \frac{5}{2}, \frac{3}{2} < x_2 < \frac{5}{2}, \]

    pertanto (x_1,x_2) \notin Q.

Nell’esempio precedente abbiamo visto il caso del punto P_2 che, pur essendo di frontiera per Q, appartiene all’insieme. Come osservato subito dopo la definizione e anche nell’esempio, esso è di frontiera anche per il complementare \mathbb{R}^2 \setminus Q, senza chiaramente appartenervi.

Introduciamo ora le nozioni di interno, frontiera e chiusura di un insieme.


 

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