Insiemi connessi in spazi euclidei

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

Gli insiemi connessi sono quelli per i quali non è possibile individuare due pezzi “ben separati” che li costituiscono. Tale idea intuitiva può essere resa rigorosa mediante una astuta definizione che utilizza gli insiemi aperti. Correlato al concetto di insieme connesso è quello connesso per archi, ossia un insieme tale che per ogni coppia di punti esiste una curva interamente contenuta nell’insieme che li congiunge.

In questo articolo studiamo le nozioni di connessione e connessione per archi, illustrandole mediante numerosi esempi e figure e confrontandole: mentre tutti gli insiemi connessi per archi sono anche connessi, il viceversa è falso. Mostriamo infatti un noto controesempio, detto “chiusura del seno del topologo”, di insieme connesso ma non connesso per archi. Facciamo vedere poi che le due nozioni sono equivalenti per sottoinsiemi aperti di e proviamo, infine, che i sottoinsiemi connessi di sono tutti e soli gli intervalli.

Chiudiamo il capitolo introducendo un altro concetto molto importante in topologia e in analisi: la connessione.

Il concetto di connessione vuole tradurre formalmente quello di “insieme tutto d’un pezzo”, ossia di qualcosa che non si può dividere in due pezzi “ben separati”. Andando a dividere un insieme connesso in due parti, si viene inevitabilmente a creare del bordo e la richiesta che e siano aperti evita che tale bordo venga incluso in uno di questi insiemi.

In altre parole, un insieme è connesso se, per ogni coppia di aperti disgiunti la cui unione ricopre , è contenuto in uno dei due aperti.