Autori e revisori
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Introduzione
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Gli insiemi aperti e chiusi nello spazio euclideo 
sono particolari classi di insiemi: i primi non contengono alcun punto del loro bordo, mentre i secondi contengono tutti i loro punti di bordo. Dato che il bordo di un insieme intuitivamente coincide con quello del complementare, risulta chiaro come gli insiemi chiusi siano complementari di insiemi aperti e viceversa.
sono particolari classi di insiemi: i primi non contengono alcun punto del loro bordo, mentre i secondi contengono tutti i loro punti di bordo. Dato che il bordo di un insieme intuitivamente coincide con quello del complementare, risulta chiaro come gli insiemi chiusi siano complementari di insiemi aperti e viceversa.
In questo articolo, dopo aver dato delle definizioni rigorose di tali concetti, ne spieghiamo tutte le proprietà, motivandole con numerosi esempi e illustrazioni.
Punti interni e di frontiera
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Premettiamo la seguente definizione propedeutica allo studio degli insiemi aperti e chiusi.
![\[\quad\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27e49cccda278470ae7436bace68813e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Definizione 1 (punti interni e di frontiera, interno, bordo e chiusura). Sia dato un insieme 
e 
. Il punto 
si dice interno a 
se esiste 
tale che 
.
Se non è né interno a né interno al suo complementare 
, allora si dice punto di frontiera per .
e . Il punto si dice interno a se esiste tale che .
Se non è né interno a né interno al suo complementare , allora si dice punto di frontiera per .
L’insieme dei punti interni a viene detto interno di e si denota col simbolo 
. L’insieme dei punti di frontiera per è detto frontiera o bordo di e si indica col simbolo 
. Si dice infine chiusura di l’insieme 
.
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