Il teorema di Schwarz

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

Il famoso teorema di Schwarz afferma che, se le derivate seconde e esistono in e sono continue in , allora esse coincidono in . In altre parole, l’ordine di derivazione è ininfluente se le derivate miste considerate sono continue.

In questo articolo analizziamo quindi l’enunciato formale del teorema e la sua dimostrazione, che si basa sostanzialmente sul fatto che l’incremento della funzione si può scrivere in due modi distinti a seconda se si incrementa prima la sola variabile o la variabile . Sfruttando questa uguaglianza, applicando due volte il teorema di Lagrange alle funzioni risultanti e facendo tendere a gli incrementi delle variabili, si ottiene la tesi del teorema. Presentiamo poi un importante controesempio che mostra come la sola esistenza delle due derivate seconde considerate non sia sufficiente a garantire la loro uguaglianza.