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Il teorema della media integrale per funzioni in più variabili

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Introduzione

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Il teorema della media integrale per funzioni in più variabili reali è una generalizzazione del suo famoso omologo, valido per funzioni di una variabile reale. Data una funzione f \colon \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, il teorema fornisce delle condizioni sufficienti affinché f assuma un valore m tale che l’integrale di f è pari al “volume” di \Omega moltiplicato per m.

In altre parole, la tesi del teorema afferma che il volume sotteso al grafico di f sarebbe lo stesso se f fosse costantemente pari a uno dei valori che già assume. Intuitivamente, ciò segue dal fatto che l’integrale di f è una sorta di media pesata dei valori assunti da f. Se f è continua e il suo dominio non è spezzato, uno dei valori assunti da f deve proprio essere pari a tale media.

In questo articolo, dopo aver ricordato alcuni fatti fondamentali, riportiamo l’enunciato del teorema e una sua dimostrazione.


 
 

Alcuni risultati preliminari

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Introduciamo una nozione topologica, quella di insieme connesso.

Definizione 1 (insieme connesso). Dato un insieme \Omega\subset \mathbb R^n, un suo sottoinsieme U \subseteq \Omega si dice aperto in \Omega se, per ogni x \in U, esiste r>0 tale che \Omega \cap B_r(x) \subseteq U. L’insieme \Omega si dice connesso se non esistono due insiemi U,V \subseteq \Omega, aperti in \Omega e tali che

\[U, V \ne \emptyset , \qquad U \cap V = \emptyset \qquad \text{e} \qquad U \cup V = \Omega .\]

Nonostante questa definizione possa apparire oscura, essa richiede che l’insieme X non possa scriversi come l’unione di due pezzi “ben separati”, cioè due parti ciascuna delle quali sia contenuta in insiemi aperti disgiunti.

Per le funzioni continue su insiemi connessi vale il seguente teorema dei valori intermedi. Come nel caso unidimensionale, esso assicura che l’immagine di un insieme connesso tramite una funzione continua è un intervallo.

\[\quad\]

Teorema 2 (dei valori intermedi). Sia \Omega \subset \mathbb R^2 connesso, sia f \colon \Omega \subset \mathbb R^n\to \mathbb R continua e siano a ,b \in \operatorname{Im} f con a<b. Allora per ogni t \in [a, b] esiste x \in \Omega tale che f(x) = t. In particolare, \operatorname{Im} f è un intervallo.

\[\quad\]

Se t=a oppure t=b la tesi è banale, poiché per ipotesi a,b \in \operatorname{Im} f e dunque esistono x_a, x_b \in \Omega tali che f(x_a)=a e f(x_b)=b. Consideriamo dunque a < t < b e definiamo gli insiemi

\[ U \coloneqq \{x \in \Omega \colon f(x)< t\}, \qquad V \coloneqq \{x \in \Omega \colon f(x)> t\}. \]

Questi due insiemi sono ovviamente disgiunti e non vuoti, in quanto x_a \in U e x_b \in V. Essi sono inoltre aperti in \Omega. Infatti, se x \in U, allora f(x)< t; dalla continuità di f esiste r>0 tale che f(y)< t per ogni y \in B_r(x) \cap \Omega, dunque \Omega \cap B_r(x) \subseteq U. Analogamente si vede che V è aperto. Poiché \Omega è connesso, U \cup V non può essere pari a \Omega e quindi esiste x \in \Omega \setminus (U \cup V), ovvero f(x) = t.

Ricordiamo infine che un insieme I è un intervallo se e solo se soddisfa la seguente proprietà: dati a,b \in I, allora appartengono a I tutti i numeri reali t tali che a < t <b. Abbiamo provato precisamente che \operatorname{Im} f possiede questa caratteristica, quindi è un intervallo.

Concludiamo questa sezione di preliminari riportando la definizione di insieme minurabile secondo Peano-Jordan. Ricordiamo che un insieme del tipo R = (a_1,b_1) \times (a_2,b_2) \times \dots \times (a_n,b_n) \subset \mathbb{R}^n si dice rettangolo e il suo volume viene definita come |R| \coloneqq (b_1-a_1) \cdots (b_n-a_n).

Definizione 3. Sia \Omega \subset \mathbb{R}^n un insieme non vuoto e limitato. Esso si dice misurabile se i due valori

\[ \sup \left \{ \sum_{j=1}^m |R_j| \colon R_j \text{ rettangoli disgiunti }, \,\,\, \bigcup_{j=1}^m R_j \subseteq \Omega \right \} \]

\[ \inf \left \{ \sum_{j=1}^m |R_j| \colon R_j \text{ rettangoli disgiunti }, \,\,\, \Omega \subseteq \bigcup_{j=1}^m R_j \right \} \]

sono uguali. In tal caso, il loro valore comune si dice \textbf{misura di \Omega} e si indica con |\Omega|.

\[\quad\]

Intuitivamente, un insieme si dice misurabile secondo Peano-Jordan se le sue approssimazioni con rettangoli dall’interno e dall’esterno possiedono volume totale arbitrariamente vicino. L’unico elemento che separa i volumi totali di queste due classi approssimanti è detto misura di \Omega. Poiché ogni insieme limitato \Omega è contenuto in un rettangolo, che ha volume finito, è facile vedere che la misura di ogni insieme misurabile è finita.

Osservazione 4. Dalla definizione segue inoltre che, se \Omega è misurabile, allora anche la sua parte interna \Omega^{\mathrm{o}} e la sua chiusura \overline{\Omega} lo sono e vale

\[ |\Omega^{\mathrm{o}}| = |\Omega| = |\overline{\Omega}|. \]


 

Teorema della media integrale

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